Λογισμός

Ένας άπειρος αριθμός σχετικών ακραξιών υπάρχει στο x στο [-1 / pi, 1 / pi] είναι στο f (x) = + - 1 Πρώτα, ας συνδέσουμε τα τελικά σημεία του διαστήματος [-1 / pi, 1 / pi] τη λειτουργία για να δείτε τη συμπεριφορά τελών. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τα κρίσιμα σημεία θέτοντας το παράγωγο ίσο με το μηδέν. (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) ) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 Δυστυχώς, όταν γράφετε αυτή την τελευταία εξίσωση, παίρνετε τα εξής Επειδή το γράφημα του παραγώγου έχει άπειρο αριθμό ριζών, τοπικά άκρα. Αυτό μπορεί επίσης να διαπιστωθεί εξετάζοντας το γράφημα της αρχικής Διαβάστε περισσότερα »

Το ελάχιστο είναι 0 στο x = 0 και το μέγιστο είναι 4 ^ 4 / e ^ 4 στο x = 4 Σημειώστε πρώτα ότι στο [0, oo], το f δεν είναι ποτέ αρνητικό. Επιπλέον, f (0) = 0 έτσι πρέπει να είναι το ελάχιστο. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x το οποίο είναι θετικό σε (0,4) και αρνητικό σε (4, oo). Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το f (4) είναι ένα σχετικό μέγιστο. Δεδομένου ότι η λειτουργία δεν έχει άλλα κρίσιμα σημεία στον τομέα, αυτό το σχετικό μέγιστο είναι επίσης το απόλυτο μέγιστο. Διαβάστε περισσότερα »

Απόλυτο μέγ.: X = pi / 8 Απόλυτο λεπτό. είναι στα τελικά σημεία: x = 0, x = pi / 4 Βρείτε το πρώτο παράγωγο χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας: Αφήνω u = 2x; u '= 2, έτσι y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x Βρείτε κρίσιμους αριθμούς με τη ρύθμιση y '= 0 και συντελεστής 2 cos2x-sin2x = κάνει cosu = sinu; όταν u = 45 ^ = pi / 4 έτσι x = u / 2 = pi / 8 Βρείτε το 2ο παράγωγο: y '' = -4sin2x-4cos2x Ελέγξτε αν έχετε max στο pi / : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, επομένως η pi / 8 είναι η απόλυτη μέγιστη τιμή στο διάστημα. Ελέγξτε τα τελικά σημεία: y (0) = 1; y (pi / 4) Διαβάστε περισσότερα »

Ελάχιστο: f (x) = -6.237 σε x = 1.147 Μέγιστο: f (x) = 16464 στο x = 7 Σας ζητείται να βρείτε τις συνολικές ελάχιστες και μέγιστες τιμές για μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο εύρος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρούμε τα κρίσιμα σημεία της λύσης, τα οποία μπορούν να γίνουν με τη λήψη του πρώτου παραγώγου και επίλυσης για το x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x7x ~~ 1,147 που συμβαίνει να είναι το μόνο κρίσιμο σημείο. Για να βρούμε τα ακραία σύνολα, πρέπει να βρούμε την τιμή του f (x) σε x = 0, x = 1.147 και x = 7, σύμφωνα με το δεδομένο εύρος: x = 0: f (x) = 0 x = : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 Έτσι το απόλυτο ακρότατο Διαβάστε περισσότερα »

Δεν υπάρχει μέγιστο. Το ελάχιστο είναι 0. Δεν υπάρχει μέγιστο As xrarr0, sinxrarr0 και lnxrarr-oo, έτσι lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Έτσι δεν υπάρχει μέγιστο. Δεν υπάρχει ελάχιστο Let g (x) = sinx + lnx και σημειώστε ότι g είναι συνεχής στο [a, b] για κάθε θετικό a και b. g (1) = sin1> 0 "" και "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0.g είναι συνεχής στο [e ^ -2.1] (0,9), ο οποίος έχει ένα μηδέν στο [e ^ -2,1] που είναι ένα υποσύνολο του (0,9) .Ο ίδιος αριθμός είναι μηδέν για το f (x) = abs sinx + lnx) (που πρέπει να είναι μη αρνητικό για όλα τα x στον τομέα.) Διαβάστε περισσότερα »

X = ln (5) και x = ln (30) Υποθέτω ότι το απόλυτο άκρο είναι το "μεγαλύτερο" (μικρότερο ή μεγαλύτερο μέγιστο). Έχετε ανάγκη f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x) (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx σε [ln (5), ln (30)], x ^ x) - sin (x) (1 + x)) για να έχουμε τις μεταβολές του f. AAx στο [ln (5), ln (30)], f '(x) <0 έτσι f μειώνεται συνεχώς στο [ln (5), ln (30)]. Αυτό σημαίνει ότι τα άκρα του βρίσκονται στο ln (5) & ln (30). Το μέγιστο του είναι f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)) και το ελάχιστό του f (ln (30)) = sin (ln (30) ) Διαβάστε περισσότερα »

Το απόλυτο ελάχιστο είναι 0, το οποίο συμβαίνει σε x = 0 και x = 20. Το απόλυτο μέγιστο είναι 15root (3) 5, το οποίο συμβαίνει στο x = 5. Τα πιθανά σημεία που θα μπορούσαν να είναι απόλυτα ακραία είναι: δηλαδή σημεία όπου dy / dx = 0 Τα τελικά σημεία του διαστήματος Έχουμε ήδη τα τελικά σημεία μας (0 και 20), οπότε ας βρούμε τα σημεία καμπής μας: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (-2/3) (20-χ) -χ ^ (1/3) = 0 (20-χ) (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Έτσι υπάρχει ένα σημείο καμπής όπου x = 5. Αυτό σημαίνει ότι τα 3 πιθανά σημεία που θα μπορούσαν να είναι ακραίες είναι : x = 0 "" &qu Διαβάστε περισσότερα »

(1, 1 / e) είναι ένα απόλυτο μέγιστο στον δεδομένο τομέα Δεν υπάρχει ελάχιστο Το παράγωγο δίνεται από το f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2) (X ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) 2 ^ (x) = (e ^ ) ^ 2 Οι κρίσιμες τιμές θα προκύψουν όταν το παράγωγο είναι ίσο ή μηδενικό. Το παράγωγο δεν θα είναι ποτέ απροσδιόριστο (επειδή e ^ (x ^ 2) και x είναι συνεχείς συναρτήσεις και e ^ (x ^ 2)! = 0 για οποιαδήποτε τιμή του x. (x ^ 2) = 2 ^ ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) δύο κρίσιμοι αριθμοί θα συμβούν στη λύση του 0 = 1 -2x ^ 2 2x ^ 2 = 1 x ^ 2 = 1/2 x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) (x = 1) θα είναι ένα μέγιστο (επειδή το f (x) θα συγκλίνει στ Διαβάστε περισσότερα »

Υπάρχει ένα απόλυτο μέγιστο -1.718 σε x = 1 και ένα απόλυτο ελάχιστο -5.921 σε x = ln8. Για τον προσδιορισμό των απόλυτων ακρών σε ένα διάστημα, πρέπει να βρούμε τις κρίσιμες τιμές της συνάρτησης που βρίσκονται μέσα στο διάστημα. Στη συνέχεια, πρέπει να ελέγξουμε τόσο τα τελικά σημεία του διαστήματος όσο και τις κρίσιμες τιμές. Αυτά είναι τα σημεία όπου μπορεί να εμφανιστούν κρίσιμες τιμές. Εύρεση κρίσιμων τιμών: Οι κρίσιμες τιμές του f (x) εμφανίζονται κάθε φορά που f '(x) = 0. Έτσι, πρέπει να βρούμε το παράγωγο του f (x). Εάν: "" "" "" "" "" "f (x) = xe ^ x Στη σ Διαβάστε περισσότερα »

Στο x = -1 το ελάχιστο και στο x = 3 το μέγιστο. (dx) / (dx) = - ((x-3) (1 + x)) / (2 + 2) x + x ^ 2) ^ 2 = 0 έτσι ώστε να είναι σε x = -1 και x = 3 Ο χαρακτηρισμός τους γίνεται με την ανάλυση του σήματος του (d ^ 2f) / (dx ^ 3) x-9)) - 1) / (2 + χ + χ ^ 2) ^ 3 στα σημεία αυτά. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> σχετικό ελάχιστο (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> Επισυνάφθηκε η γραφική παράσταση λειτουργίας. Διαβάστε περισσότερα »

Δεν έχουμε απόλυτα μέγιστα ή ελάχιστα, έχουμε ένα μέγιστο στο x = 16 και ένα ελάχιστο στο x = 0 Τα μέγιστα θα εμφανιστούν όπου f '(x) = 0 και f' '(x) <0 για f (x) = (x +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + (x + (X-8) (x-2) Είναι φανερό ότι όταν x = 2 και x = 8, έχουμε ακρότατα αλλά f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 και x = 2, f "(x) = - 18 και x = 8, f" 0,16] έχουμε ένα τοπικό μέγιστο στο x = 2 και ένα τοπικό ελάχιστο στο x = 8 όχι ένα απόλυτο μέγιστο ή ελάχιστο. Στο διάστημα [0,16], έχουμε ένα μέγιστο στο x = 16 και ένα ελάχιστο στο x = 0 (γράφημα παρακάτω δεν τραβήξαμε την κλίμακα) Διαβάστε περισσότερα »

Το απόλυτο ελάχιστο είναι -25/2 (σε x = -sqrt (25/2)). Το απόλυτο μέγιστο είναι 25/2 (σε x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 και f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) Οι κρίσιμοι αριθμοί του f είναι x = -sqrt (25/2) Και οι δύο είναι στο [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 Περίληψη: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Το απόλυτο ελάχιστο είναι -25/2 (σε x = -sqrt (25/2)) . Το απόλυτο μέγιστο είναι 25/2 (σε x = sqrt (25/2)). Διαβάστε περισσότερα »

Δεν υπάρχουν απόλυτα ακραία σημεία στο διάστημα (2, 5) Δεδομένου ότι: f (x) = x - sqrt (5x - 2) in (2, 5) δοκιμάστε να βρείτε ελάχιστα ή μέγιστα και στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές y των τελικών σημείων και να τις συγκρίνετε. Βρείτε το πρώτο παράγωγο: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) (x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) Βρείτε την κρίσιμη τιμή f '(x) = 0: 1 - 5 / 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Τετράγωνο και οι δύο πλευρές: 5x - 2 = + - 25/4 Δεδομένου ότι η περιοχή της συνάρτησης περιορίζεται από τη ρίζα: 5x - 2> = 0. "x> = 2/5 Πρέπει μόνο να δούμε τη θετική απάντη Διαβάστε περισσότερα »

(0, 0) Δόση: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) τα τελικά σημεία και την εύρεση οποιωνδήποτε σχετικών μεγίστων ή ελάχιστων τιμών και τη σύγκριση των τιμών τους γ. Αξιολογήστε τα τελικά σημεία: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / 9, 9/106) ~~ (9, .085) Βρείτε οποιεσδήποτε σχετικές ελάχιστες ή μέγιστες τιμές θέτοντας f '(x) = 0. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του πηλίκο: (u / v)' = (vu '- uv' v ^ 2 Έστω u = x; "" u "= 1. "" ν = χ ^ 2 + 25; (x) = (x) = (x) = x (x) = x (2) + = 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 Δεδομένου ότι (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 πρέπει μόνο να ορίσουμε τον αριθμητ Διαβάστε περισσότερα »

Δεν υπάρχουν απόλυτα ακραία όρια επειδή f (x) είναι απεριόριστα Υπάρχουν τοπικά ακραία σημεία: LOCAL MAX: x = -1 LOCAL MIN: x = 1 ΣΗΜΕΙΟ INFLECTION x = 0 Δεν υπάρχουν απόλυτα ακραία σημεία επειδή lim_ (x rarr + -oo) x) rarr + -oo Θα μπορούσατε να βρείτε τοπικά άκρα, αν υπάρχουν. Για να βρούμε f (x) ακραίες ή κρίσιμες poits πρέπει να υπολογίσουμε f '(x) Όταν f' (x) = 0 => f (x) έχει ένα σταθερό σημείο (MAX, min ή σημείο καμπής). Έπειτα πρέπει να βρούμε πότε: f (x)> 0 => f (x) αυξάνεται f '(x) <0 => f (x) μειώνεται Επομένως: f' (x) = d / dx (X + 1) (x-1) (x-1) (x-1) (x) = f (x) = 0 χρώμα (πράσι Διαβάστε περισσότερα »

Πρέπει να βρούμε τις κρίσιμες τιμές του f (x) στο διάστημα [1,4]. Επομένως υπολογίζουμε τις ρίζες του πρώτου παραγώγου έτσι έχουμε (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 = (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Η μέγιστη τιμή συνάρτησης είναι σε x = 4 και συνεπώς f (4) ) = 16,5 είναι η απόλυτη μέγιστη τιμή f στο [1,4]. Η μικρότερη τιμή συνάρτησης είναι στο x = 1 και συνεπώς το f (1) = 3 είναι το απόλυτο ελάχιστο για το f in [1,4] , 4] είναι Διαβάστε περισσότερα »

Τα απόλυτα ακρότατα μπορούν είτε να εμφανιστούν στα όρια, στα τοπικά ακραία, είτε σε απροσδιόριστα σημεία. Ας βρούμε τις τιμές του f (x) στα όρια x = 3 και x = 7. Αυτό μας δίνει f (3) = 1 και f (7) = 7/43. Στη συνέχεια, βρείτε τα τοπικά ακραία σημεία από το παράγωγο. Το παράγωγο της f (x) = x / (x ^ 2-6) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκο: d / dx (u / v) = (d) / dxv-u ^ 2 όπου u = χ και ν = χ ^ 2-6. Έτσι, f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Οι τοπικές ακρότητες εμφανίζονται όταν f '(x) = 0, αλλά πουθενά στο x στο [3,7] είναι f' (x) = 0. Στη συνέχεια, βρείτε τυχόν απροσδιόριστα σημεία. Ωσ Διαβάστε περισσότερα »

Απόλυτο ελάχιστο -1 στο x = 1 και απόλυτο μέγιστο 19 στο x = 3. Υπάρχουν δύο υποψήφιοι για την απόλυτη ακρίβεια ενός διαστήματος. Αυτά είναι τα τελικά σημεία του διαστήματος (εδώ, 0 και 3) και οι κρίσιμες τιμές της συνάρτησης που βρίσκονται μέσα στο διάστημα. Οι κρίσιμες τιμές μπορούν να βρεθούν με την εύρεση του παραγώγου της συνάρτησης και της εύρεσης για ποιες τιμές του x ισούται με 0. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα ισχύος για να βρούμε ότι το παράγωγο του f (x) = x ^ 3-3x + 1 είναι f ' x) = 3x ^ 2-3. Οι κρίσιμες τιμές είναι όταν 3x ^ 2-3 = 0, το οποίο απλοποιεί να είναι x = + - 1. Ωστόσο, το x = -1 δεν βρί Διαβάστε περισσότερα »

Τοπικά ελάχιστα. είναι -2187/128. Παγκόσμια ελάχιστα = -2187 / 128 = = -17.09. Παγκόσμια Maxima = 64. Για τα ακραία, f '(x) = 0. (x-5) ^ (x-5) ^ (x-5) ^ 2 (3x-6 + x-5) -11) (χ-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! σε [1,4], οπότε δεν υπάρχει ανάγκη για περαιτέρω συσχέτιση & x = 11/4. (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = (4x-11) 2 (χ-5) {4χ-11 + 2χ-10} = 2 (χ-5) (6χ-21). Τώρα, f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2) 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128, είναι τοπικά ελάχιστα. Για να βρούμε τις Παγκόσμιες Αξίες, χρειαζόμαστε f (1) = (1-2) (1-5) ^ 3 = 64, & f (4) = (4-2) (4-5) Διαβάστε περισσότερα »

(-4, -381) και (8,2211) Για να βρείτε τα άκρα, πρέπει να πάρετε το παράγωγο της συνάρτησης και να βρείτε τις ρίζες του παραγώγου. δηλαδή επίλυση για d / dx [f (x)] = 0, χρησιμοποιήστε τον κανόνα εξουσίας: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ (X-1) (x + 2) = 0 x = 1, χ = -2 f (-1) = -6- (4) = -381 f (8) = 2211 Έτσι οι απόλυτες ακρότητες είναι (-4, -) 381) και (8,2211) Διαβάστε περισσότερα »

Το απόλυτο ελάχιστο είναι 0 (σε x = 0) και το απόλυτο μέγιστο είναι 1 (σε x = 1). f (x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1) (x ^ 2-x + 1) ^ 2f '(x) δεν είναι ποτέ απροσδιόριστο και είναι 0 στο x = -1 (που δεν είναι στο [0,3]) και στο x = 1. (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Έτσι, το απόλυτο ελάχιστο είναι το 0 (σε x = 0) και το το απόλυτο μέγιστο είναι 1 (σε x = 1). Διαβάστε περισσότερα »

Εξετάζουμε παρακάτω για απάντηση Για το x = 0 έχουμε f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Θεωρούμε μια νέα συνάρτηση g (x) = xe ^ (x) +1, xinRR g ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR Ως αποτέλεσμα το g αυξάνεται σε RR. Έτσι, επειδή η αυστηρά αυξανόμενη g είναι "1-1" (ένα προς ένα) Έτσι, f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 < 0) <=> f (0) = 0 Πρέπει να δείξουμε ότι το x / 2 ^ (χ> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (χ-0)