Ποια είναι τα σημεία ακραίας και σέλας του f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Απάντηση:

Αυτή η λειτουργία έχει χωρίς στάσιμα σημεία (είστε σίγουροι ότι # f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # είναι αυτό που θέλετε να σπουδάσετε;!).

Εξήγηση:

Σύμφωνα με τον πιο διαδεδομένο ορισμό του σημεία σέλας (στάσιμα σημεία που δεν είναι ακραία), αναζητάτε τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης στον τομέα της # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) σε RR ^ 2} #.

Μπορούμε τώρα να ξαναγράψουμε την έκφραση που δόθηκε για #φά# με τον ακόλουθο τρόπο: # f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #

Ο τρόπος ταυτοποίησής τους είναι να αναζητήσετε τα σημεία που ακυρώνουν την κλίση του #φά#, που είναι ο φορέας των μερικών παραγώγων:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Δεδομένου ότι ο τομέας είναι ένα ανοιχτό σύνολο, δεν χρειάζεται να ψάχνουμε για ακραία σημεία που τελικά βρίσκονται στο όριο, επειδή ένα ανοιχτό σύνολο δεν περιέχει κανένα όριο.

Ας υπολογίσουμε την κλίση της συνάρτησης:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x)

Αυτό είναι μηδενικό όταν ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι ακόλουθες εξισώσεις:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

Μπορούμε να μετατρέψουμε το δεύτερο σε # y = 1 / (2χ ^ 3) # και να το υποκαταστήσετε στον πρώτο που θα πάρει

# 14x + 2x (1 / (2χ ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) /

# 14x + 1 / (2χ ^ 5) + 1 / (2χ ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Αυτό δεν μπορεί να ικανοποιηθεί # x σε RR #, έτσι ώστε η κλίση να μην είναι ποτέ μηδενική στον τομέα. Αυτό σημαίνει ότι η λειτουργία δεν έχει στάσιμα σημεία!