Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Απάντηση:

Υπάρχει τοπικό ελάχιστο #0# στο #1#. (Το οποίο είναι επίσης παγκόσμιο.) Και τοπικό μέγιστο # 4 / e ^ 2 # στο # e ^ 2 #.

Εξήγηση:

Για # f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, σημειώστε πρώτα ότι ο τομέας του #φά# είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, # (0, oo) #.

Στη συνέχεια, βρείτε

(lnx) ^ 2 (1)) / x ^ 2 # (1)

= = (lnx (2-lnx)) / χ ^ 2 #.

#φά'# είναι απροσδιόριστο σε # x = 0 # που δεν ανήκει στον τομέα #φά#, οπότε δεν είναι ένας κρίσιμος αριθμός για #φά#.

# f '(x) = 0 # όπου

# lnx = 0 # # # ή # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # ή # # # x = e ^ 2 #

Ελέγξτε τα διαστήματα #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, και # (e ^ 2, oo) #.

(Για τους αριθμούς δοκιμών, προτείνω # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - ανάκληση # 1 = e ^ 0 # και # e ^ x # αυξάνεται.)

Το βρίσκουμε #φά'# αλλαγές από αρνητικές σε θετικές καθώς περνούμε #1#, Έτσι # f (1) = 0 # είναι ένα τοπικό ελάχιστο,

και αυτό #φά'# αλλαγές από θετικές σε αρνητικές καθώς περνούμε # e ^ 2 #, Έτσι # f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # είναι ένα τοπικό μέγιστο.