Ποια είναι τα απόλυτα ακραία σημεία του f (x) = x - e ^ x στο [1, ln8];

Απάντηση:

Υπάρχει ένα απόλυτο μέγιστο #-1.718# στο # x = 1 # και ένα απόλυτο ελάχιστο #-5.921# στο # x = ln8 #.

Εξήγηση:

Να καθορίσει απόλυτα ακραία σε ένα διάστημα, πρέπει να βρούμε τις κρίσιμες τιμές της συνάρτησης που βρίσκονται μέσα στο διάστημα. Στη συνέχεια, πρέπει να ελέγξουμε τόσο τα τελικά σημεία του διαστήματος όσο και τις κρίσιμες τιμές. Αυτά είναι τα σημεία όπου μπορεί να εμφανιστούν κρίσιμες τιμές.

Εύρεση κρίσιμων τιμών:

Οι κρίσιμες τιμές του # f (x) # συμβαίνουν κάθε φορά # f '(x) = 0 #. Έτσι, πρέπει να βρούμε το παράγωγο του # f (x) #.

Αν:############################################# #

Επειτα: Φ "(x) = 1-e ^ x #

Έτσι, οι κρίσιμες τιμές θα εμφανιστούν όταν: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Αυτό σημαίνει ότι:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "e ^ x = 1 #

Ετσι:"" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 =

Η μόνο κρίσιμη τιμή της λειτουργίας είναι στο # x = 0 #, το οποίο είναι δεν στο δεδομένο διάστημα # 1, ln8 #. Επομένως, οι μοναδικές τιμές στις οποίες μπορεί να εμφανιστούν τα απόλυτα ακραία είναι: # x = 1 # και # x = ln8 #.

Δοκιμές πιθανών τιμών:

Απλά, βρείτε # f (1) # και #f (ln8) #. Όσο μικρότερο είναι το απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης και το μεγαλύτερο είναι το απόλυτο μέγιστο.

# f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1,718 #

# f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Έτσι, υπάρχει ένα απόλυτο μέγιστο #-1.718# στο # x = 1 # και ένα απόλυτο ελάχιστο #-5.921# στο # x = ln8 #.

Το graphed είναι η αρχική συνάρτηση στο δεδομένο διάστημα:

διάγραμμα {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν κρίσιμες τιμές, η λειτουργία θα παραμείνει μειωμένη καθ 'όλο το διάστημα. Από # x = 1 # είναι η αρχή του συνεχώς μειούμενου διαστήματος, θα έχει την υψηλότερη τιμή. Η ίδια λογική ισχύει για # x = ln8 #, δεδομένου ότι είναι το πλέον απομακρυσμένο από το διάστημα και θα είναι το χαμηλότερο.