Απάντηση:
Ελέγξτε παρακάτω για απάντηση
Εξήγηση:
Για # x = 0 # έχουμε
# f (0) -ε ^ (- f (0)) = - 1 #
Θεωρούμε μια νέα λειτουργία #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #Χ##σε## RR #
# g (0) = 0 #, # g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #Χ##σε## RR #
Σαν άποτέλεσμα #σολ# αυξάνεται # RR #. Έτσι, επειδή αυστηρά αυξάνεται #σολ# είναι "#1-1#" (ένα προς ένα)
Ετσι, # f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># # g (0)) = g (0) # #<=># # f (0) = 0 #
Πρέπει να το δείξουμε αυτό # x / 2 <## f (x) <## xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<## f (x) / x <## f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <## f '(x) #
- #φά# είναι συνεχής στο # 0, x #
- #φά# είναι διαφοροποιήσιμο στο # (0, χ) #
Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει # x_0 ##σε## (0, χ) #
για το οποίο # f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
# f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #Χ##σε## RR # Έτσι
διαφοροποιώντας τα δύο μέρη που έχουμε
(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x)) '= 1 # #<=># # f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
# f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x)))
Η λειτουργία # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # είναι διαφοροποιήσιμο. Σαν άποτέλεσμα #φά'# είναι διαφοροποιήσιμο και #φά# είναι 2 φορές διαφοροποιήσιμη με
(x) = - ((1 + e ^ (- f (x)))) / (1 + e ^ #=#
(f (x)) (f (x))) / ((1 + e ^ #>0#, #Χ##σε## RR #
-> #φά'# αυξάνεται αυστηρά # RR # που σημαίνει
# x_0 ##σε## (0, χ) # #<=># #0<## x_0 <##Χ# #<=>#
# f '(0) <## f '(x_0) <## f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<## f (x) / x <## f '(x) # #<=>#
#1/2<## f (x) / x <## f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <## f (x) <## xf '(x) #
