Ποια είναι τα απόλυτα ακραία σημεία του f (x) = x / (x ^ 2 + 25) στο διάστημα [0,9];

Απάντηση:

απόλυτο μέγιστο: #(5, 1/10)#

απόλυτο ελάχιστο: #(0, 0)#

Εξήγηση:

Δεδομένος: # f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "στο διάστημα" 0, 9 #

Οι απόλυτες ακρότητες μπορούν να βρεθούν με την αξιολόγηση των τελικών σημείων και την εύρεση οποιωνδήποτε σχετικών μέγιστων ή ελάχιστων τιμών και τη σύγκρισή τους # y #-αξίες.

Αξιολογήστε τα τελικά σημεία:

# f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

# 9 (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9,

Βρείτε οποιαδήποτε σχετικά ελάχιστα ή μέγιστα με ρύθμιση # f '(x) = 0 #.

Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του πηλίκο: # (u / v) '= (νυ' - υν ') / ν ^ 2 #

Αφήνω #u = x; "" u "= 1. "" ν = χ ^ 2 + 25; "" v "= 2x #

(1) - x (2χ)) / (χ ^ 2 + 25) ^ 2 #

# f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Από # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, πρέπει μόνο να ορίσουμε τον αριθμητή = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

κρίσιμες τιμές: # x = + - 5 #

Δεδομένου ότι το διάστημα είναι #0, 9#, πρέπει μόνο να εξετάσουμε # x = 5 #

# f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10)

Χρησιμοποιώντας το πρώτο παράγωγο τεστ, ρυθμίστε διαστήματα για να διαπιστώσετε εάν αυτό το σημείο είναι ένα σχετικό μέγιστο ή σχετικό ελάχιστο:

διαστήματα: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

τιμές δοκιμής: # "" x = 1, "" x = 6 #

# f '(x): "f" (1)> 0, f' (6) <0 #

Αυτό σημαίνει στο # f (5) # έχουμε ένα σχετικό μέγιστο. Αυτό γίνεται το απόλυτο μέγιστο στο διάστημα #0, 9#, δεδομένου ότι το # y #-τιμή του σημείου #(5, 1/10) = (5, 0.1)# είναι το υψηλότερο # y #-τιμή στο διάστημα.

** Το απόλυτο ελάχιστο συμβαίνει στο χαμηλότερο # y #- τιμή στο τελικό σημείο #(0,0)**.#