Ποια είναι τα παγκόσμια και τοπικά ακραία σημεία του f (x) = x ^ 2 (2 - x);

Απάντηση:

#(0,0)# είναι ένα τοπικό ελάχιστο και #(4/3,32/27)# είναι ένα τοπικό μέγιστο.

Δεν υπάρχουν παγκόσμια ακραία σημεία.

Εξήγηση:

Πρώτα πολλαπλασιάστε τις αγκύλες έξω για να κάνετε τη διαφοροποίηση ευκολότερη και να πάρετε τη λειτουργία στη φόρμα

# y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 #.

Τώρα τοπικά ή σχετικά ακραία σημεία ή σημεία στροφής εμφανίζονται όταν παράγεται # f '(x) = 0 #, δηλαδή, πότε # 4x-3x ^ 2 = 0 #, # => x (4-3χ) = 0 #

# => x = 0 ή χ = 4/3 #.

(0) = 0 (2-0) = 0 και f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27 #.

Από το δεύτερο παράγωγο # f '' (x) = 4-6x # έχει τις τιμές του

# f '' (0) = 4> 0 και f '' (4/3) = - 4 <0 #, αυτό συνεπάγεται αυτό #(0,0)# είναι ένα τοπικό ελάχιστο και #(4/3,32/27)# είναι ένα τοπικό μέγιστο.

Το παγκόσμιο ή απόλυτο ελάχιστο είναι # -oo # και το συνολικό μέγιστο είναι # oo #, δεδομένου ότι η λειτουργία είναι απεριόριστη.

Το γράφημα της λειτουργίας επαληθεύει όλους αυτούς τους υπολογισμούς:

διάγραμμα {x ^ 2 (2-χ) -7,9, 7,9, -3,95, 3,95}