Απάντηση:
((-1, -2), "σέλα"), ((-1,2), "σέλα" "), ((-5 / 3,0)," max "):} #
Εξήγηση:
Η θεωρία για την αναγνώριση των ακραίων τιμών
- Επιλύστε ταυτόχρονα τις κρίσιμες εξισώσεις
# (μερική f) / (μερική x) = (μερική f) / (μερική y) = 0 # (δηλ# z_x = z_y = 0 # ) - Αξιολογώ
(yy) και f_ (xxy) (= f_ (yx)) # f_ (xx), f_ (yy) σε καθένα από αυτά τα κρίσιμα σημεία. Ως εκ τούτου αξιολογεί# Delta = f_ (χχ) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # σε κάθε ένα από αυτά τα σημεία - Προσδιορίστε τη φύση των ακραίων?
(Delta> 0, "Υπάρχει ελάχιστο εάν" f_ (xx) <0), ("και μέγιστο if" f_ (yy)> 0)), (Δέλτα = 0, "Περαιτέρω ανάλυση είναι απαραίτητη"):} #
Έτσι έχουμε:
# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #
Ας βρούμε τα πρώτα μερικά παράγωγα:
# (μερική f) / (μερική χ) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #
# (μερική f) / (μερική y) = 2xy + 2y #
Έτσι οι κρίσιμες εξισώσεις μας είναι:
# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #
# 2xy + 2y = 0 #
Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε:
# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, γ = 0 #
Subs
# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #
Subs
# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 =
Και έτσι έχουμε τέσσερα κρίσιμα σημεία με συντεταγμένες.
# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #
Τώρα, λοιπόν, ας δούμε το δεύτερο μερικό παράγωγο ώστε να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τη φύση των κρίσιμων σημείων:
# (μερική ^ 2f) / (μερική x ^ 2) = 12x + 10 #
(μερική ^ 2f) / (μερική y ^ 2) = 2x + 2 #
# (μερική ^ 2f) / (μερική x μερική y) = 2y (= (μερική ^ 2f) /
Και πρέπει να υπολογίσουμε:
= (Μερική ^ 2f) / (μερική x ^ 2) (μερική ^ 2f) / (μερική y ^ 2)
σε κάθε κρίσιμο σημείο. Οι τιμές των δεύτερων μερικών παραγώγων,
(Μερική ^ 2f) / (μερική x ^ 2), (μερική ^ 2f) / (μερική y ^ 2) "("), ((0,0), 10,2,0, gt0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "σέλα"), ((-5 / 3,0), -10, -4 / 3,0, gt0, f_ (xx) <0 => "max"):} #
Μπορούμε να δούμε αυτά τα κρίσιμα σημεία αν κοιτάξουμε ένα τρισδιάστατο οικόπεδο:
