Ποια είναι τα απόλυτα ακραία σημεία του f (x) = sin2x + cos2x στο [0, pi / 4];

Απάντηση:

Απόλυτο μέγιστο: # x = pi / 8 #

Απόλυτο λεπτό. βρίσκεται στα τελικά σημεία: # x = 0, χ = π / 4 #

Εξήγηση:

Βρείτε το πρώτο παράγωγο χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας:

Αφήνω #u = 2x; u '= 2 #, Έτσι # y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Βρείτε τους κρίσιμους αριθμούς ρυθμίζοντας # y '= 0 # και συντελεστής:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Πότε #cosu = sinu #; πότε # u = 45 ^ @ = pi / 4 #

Έτσι # x = u / 2 = pi / 8 #

Βρείτε το 2ο παράγωγο: # y '' = -4sin2x-4cos2x #

Ελέγξτε αν έχετε μέγιστο όριο # pi / 8 # χρησιμοποιώντας τη δοκιμή 2ου παραγώγου:

# y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, επομένως # pi / 8 # είναι το απόλυτο μέγιστο στο διάστημα.

Ελέγξτε τα τελικά σημεία:

# y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # ελάχιστες τιμές

Από το γράφημα:

γράφημα {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

Απάντηση:

# 0 και sqrt2 #. Δείτε το επεξηγηματικό διάγραμμα Socratic.

Εξήγηση:

γραφική παράσταση(Χρήση # | αμαρτία (θήτα) στο 0, 1 #.

# | f | = | sin2x + cos2x |

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + sin cosx (pi / 4) | #

# = sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | σε 0, sqrt 2 #.