Ποια είναι τα παγκόσμια και τοπικά ακραία σημεία του f (x) = x ^ 3-x ^ 2-x + 1?

Απάντηση:

Τοπικά άκρα: # x = -1 / 3 # και # x = 1 #

Παγκόσμια άκρα: # x = + - infty #

Εξήγηση:

Οι τοπικές ακρότητες, που ονομάζονται επίσης μέγιστα & ελάχιστα, ή μερικές φορές κρίσιμα σημεία, είναι ακριβώς αυτά που ακούγονται: όταν η συνάρτηση έφτασε ένα σύντομο όριο ή ένα σύντομο ελάχιστο. Καλούνται τοπικός γιατί όταν ψάχνετε για κρίσιμα σημεία, συνήθως ενδιαφέρεστε μόνο για το τι σημαίνει το μέγιστο στην άμεση γειτονιά του σημείου.

Η εύρεση τοπικών κρίσιμων σημείων είναι αρκετά απλή. Βρείτε όταν η συνάρτηση είναι αμετάβλητη και η συνάρτηση είναι αμετάβλητη όταν - το μαντέψατε - το παράγωγο ισούται με το μηδέν.

Μια απλή εφαρμογή του κανόνα εξουσίας μας δίνει # f '(x) #, # f '(x) = 3x ^ -2x - 1 #.

Ανησυχούμε όταν η έκφραση αυτή ισούται με το μηδέν:

# 0 = 3χ ^ 2 - 2χ - 1 #

Τώρα βρήκαμε μια τετραγωνική εξίσωση στο #Χ#, το οποίο θα πρέπει να είναι αρκετά εύκολο να λυθεί.

Υπάρχουν πράγματι δύο πραγματικές λύσεις σε αυτό το τετραγωνικό, που δίνεται από την τετραγωνική φόρμουλα ή τη μέθοδο επιλογής σας, και είναι # x = -1 / 3 # και # x = 1 #.

Έτσι, έχουμε διαπιστώσει ότι υπάρχουν δύο τοπικά άκρα, καθώς και οι θέσεις τους. Η ταξινόμηση εάν κάθε σημείο είναι ένα μέγιστο ή ελάχιστο είναι μια διαφορετική ιστορία και δεν θα πάω σε αυτό εδώ, αλλά μπορώ να σας κατευθύνω εδώ αν αυτό είναι κάτι που θα θέλατε να διαβάσετε επάνω.

Τώρα, στα παγκόσμια ακρότατα. Ένα παγκόσμιο άκρο ορίζεται ως το μοναδικό μέγιστο ή ένα ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης σε a ολόκληρο διάστημα. Συνήθως, παρέχεται το χρονικό διάστημα, όπως "εντοπίστε τα παγκόσμια ακρότατα τέτοιων-και-τέτοιων στο διάστημα #0,3#, "αλλά μπορεί επίσης να είναι ολόκληρος ο τομέας της λειτουργίας.

Με ακραίες εξελίξεις σε παγκόσμιο επίπεδο, πρέπει να λάβετε υπόψη περισσότερο απ 'ό, τι το παράγωγο. Θα πρέπει να καθορίσετε αν υπάρχουν κρίσιμα σημεία σε αυτό το διάστημα, γιατί αν ναι, θα μπορούσε κανείς (αλλά όχι απαραιτήτως) να είναι και τα παγκόσμια ακρότατα. Με αυτούς τους τύπους καταστάσεων, η κατανόηση του αριθμού είναι πιο χρήσιμη, αλλά μια μικρή ανάλυση αποκαλύπτει τα κρίσιμα σημεία. (Μπορώ να σας κατευθύνω σε αυτή τη σελίδα για περισσότερες πληροφορίες και μερικά παραδείγματα)

Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία συνεχίζει να γίνεται πραγματικά, πραγματικά τεράστια όπως # x-> infty #, και πλησιάζει # -infty # όπως και # x -> - infty #. Έτσι, δεν υπάρχει πραγματικά μέγιστο ή ελάχιστο σε παγκόσμιο επίπεδο - υπάρχουν μόνο τα δύο τοπικά κρίσιμα σημεία.