Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x;

Απάντηση:

# f (x) = 2n (x ^ 2 + 3) -x # έχει τοπικό ελάχιστο για # x = 1 # και ένα τοπικό μέγιστο για # x = 3 #

Εξήγηση:

Εχουμε:

# f (x) = 2n (x ^ 2 + 3) -x #

η συνάρτηση ορίζεται σε όλα # RR # όπως και # x ^ 2 + 3> 0 ΑΑχ #

Μπορούμε να προσδιορίσουμε τα κρίσιμα σημεία εντοπίζοντας όπου το πρώτο παράγωγο ισούται με το μηδέν:

(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^

# - (x ^ 2-4x + 3) / (χ ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

έτσι τα κρίσιμα σημεία είναι:

# x_1 = 1 # και # x_2 = 3 #

Δεδομένου ότι ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, το σημάδι του # f '(x) # είναι το αντίθετο του σημείου του αριθμητή # (x ^ 2-4x + 3) #

Τώρα γνωρίζουμε ότι ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης με θετικό κύριο συντελεστή είναι θετικό έξω από το διάστημα που περιλαμβάνεται μεταξύ των ριζών και αρνητικό στο διάστημα μεταξύ των ριζών, έτσι ώστε:

# f '(x) <0 # Για # x σε (-ο, 1) # και # x σε (3, + oo) #

# f '(x)> 0 # Για # x σε (1,3) #

Έχουμε τότε αυτό # f (x) # μειώνεται # (- oo, 1) #, αυξάνοντας το #(1,3)#, και πάλι μειώνεται # (3, + oo) #, έτσι ώστε # x_1 = 1 # πρέπει να είναι ένα τοπικό ελάχιστο και # x_2 = 3 # πρέπει να είναι ένα τοπικό μέγιστο.

διάγραμμα {2ηιη (χ ^ 2 + 3) -χ -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}