Ποια είναι τα παγκόσμια και τοπικά ακραία σημεία του f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1);

Απάντηση:

# f (x) # έχει απόλυτο ελάχιστο σε #(-1. 0)#

# f (x) # έχει τοπικό μέγιστο σε # (- 3, 4e ^ -3) #

Εξήγηση:

# f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

(x) = e (x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) Κανόνας προϊόντος

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Για απόλυτα ή τοπικά άκρα: # f '(x) = 0 #

Εκεί: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Από # e ^ x> 0 για όλες τις x στο RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (χ-1) = 0 -> χ = -3 ή -1 #

(x) = e (x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Κανόνας προϊόντος

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Και πάλι, από τότε # e ^ x> 0 # πρέπει να δοκιμάσουμε μόνο το σημάδι του # (x ^ 2 + 6x + 7) #

στα ακραία σημεία μας για να καθορίσουμε αν το σημείο είναι ένα μέγιστο ή ελάχιστο.

# f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # είναι ένα ελάχιστο

(3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # είναι ένα μέγιστο

Λαμβάνοντας υπόψη το γράφημα του # f (x) # παρακάτω είναι σαφές ότι # f (-3) # είναι ένα τοπικό μέγιστο και #f (-1) # είναι ένα απόλυτο ελάχιστο.

γράφημα {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Τέλος, αξιολογώντας τα ακραία σημεία:

# f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

και

# f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 = = 0.199 #