Ποια είναι τα απόλυτα ακραία σημεία του f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) σε [2,9]?

Απάντηση:

Το απόλυτο ελάχιστο είναι # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# που συμβαίνει όταν # x = 9 #.

Το απόλυτο μέγιστο είναι # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # που συμβαίνει όταν # x = 2 #.

Εξήγηση:

Τα απόλυτα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές γ της συνάρτησης σε έναν δεδομένο τομέα. Αυτός ο τομέας μπορεί να μας δοθεί (όπως σε αυτό το πρόβλημα) ή μπορεί να είναι ο τομέας της ίδιας της λειτουργίας. Ακόμη και όταν μας δοθεί ο τομέας, πρέπει να εξετάσουμε το πεδίο της ίδιας της λειτουργίας, σε περίπτωση που αποκλείει οποιεσδήποτε αξίες του τομέα που μας δίνεται.

# f (x) # περιέχει τον εκθέτη #1/3#, που δεν είναι ένας ακέραιος αριθμός. Ευτυχώς, ο τομέας του #p (x) = root3 (x) # είναι # (- oo, oo) # αυτό το γεγονός δεν είναι ένα ζήτημα.

Ωστόσο, πρέπει να λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να ισούται με το μηδέν. Ο παρονομαστής θα είναι ίσος με το μηδέν όταν # x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Καμία από αυτές τις τιμές δεν βρίσκεται στη δεδομένη περιοχή του #2,9#.

Έτσι, στραφούμε προς την εξεύρεση των απόλυτων ακραίων #2,9#. Απόλυτα ακρότατα συμβαίνουν στα τελικά σημεία του τομέα ή στα τοπικά άκρα, δηλαδή στα σημεία όπου η λειτουργία αλλάζει κατεύθυνση. Τα τοπικά άκρα εμφανίζονται σε κρίσιμα σημεία, τα οποία είναι σημεία στον τομέα όπου το παράγωγο είναι ίσο #0# ή δεν υπάρχει. Έτσι, πρέπει να βρούμε το παράγωγο. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκο:

(3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6χ) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (-2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (-2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Αν υπολογίσουμε # -3x ^ (- 2/3) # από τον αριθμητή, έχουμε:

(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^

Δεν υπάρχουν τιμές του #Χ# επί #2,9# όπου # f '(x) # δεν υπάρχει. Επίσης, δεν υπάρχουν τιμές #2,9# όπου # f '(x) = 0 #. Επομένως, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία στον συγκεκριμένο τομέα.

Χρησιμοποιώντας το "test candidate", βρίσκουμε τις τιμές του # f (x) # στα τελικά σημεία. # f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

# f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Ένας γρήγορος έλεγχος των υπολογιστών μας δείχνει ότι:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (απόλυτο μέγιστο)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (απόλυτο ελάχιστο)