Ένα ζευγάρι δίκαιων έξι όψεων ζάρια ρίχνεται οκτώ φορές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα σκορ μεγαλύτερο από 7 βαθμολογείται όχι περισσότερο από πέντε φορές;

Απάντηση:

#~=0.9391#

Εξήγηση:

Πριν βρεθούμε στην ίδια την ερώτηση, ας μιλήσουμε για τη μέθοδο επίλυσής της.

Ας πούμε, για παράδειγμα, ότι θέλω να λογοδοτήσω για όλα τα πιθανά αποτελέσματα από την ανύψωση ενός δίκαιου νομίσματος τρεις φορές. Μπορώ να πάρω HHH, TTT, TTH και HHT.

Η πιθανότητα του Η είναι #1/2# και η πιθανότητα για Τ είναι επίσης #1/2#.

Για το HHH και για το TTT, δηλαδή # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # καθε.

Για τα TTH και HHT, είναι επίσης # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # το καθένα, αλλά επειδή υπάρχουν τρεις τρόποι που μπορώ να πάρω κάθε αποτέλεσμα, καταλήγει να είναι # 3xx1 / 8 = 3/8 # καθε.

Όταν συνοψίσω αυτά τα αποτελέσματα, έχω #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - που σημαίνει ότι τώρα έχουν όλα τα πιθανά αποτελέσματα του flip νομισμάτων αντιπροσώπευαν.

Παρατηρήστε ότι αν ορίσω # H # να είναι #Π# και ως εκ τούτου έχουν # T # είναι # ~ p #, και επίσης παρατηρήστε ότι έχουμε μια γραμμή από το τρίγωνο του Pascal #(1,3,3,1)#, έχουμε δημιουργήσει μια μορφή:

(n = k) (p) ^ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k)

και έτσι σε αυτό το παράδειγμα, παίρνουμε:

(1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Τώρα μπορούμε να κάνουμε το πρόβλημα.

Δίνουμε τον αριθμό των ρολών ως 8, έτσι # n = 8 #.

#Π# είναι το άθροισμα μεγαλύτερο από 7. Για να βρούμε την πιθανότητα να πάρουμε ένα ποσό μεγαλύτερο από 7, ας δούμε τα πιθανά ρολά:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2 ', 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 ', 5,6,7,8,9,10), (5', 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Από 36 δυνατότητες, 15 ρολά δίνουν ένα άθροισμα μεγαλύτερο από 36, δίνοντας μια πιθανότητα #15/36=5/12#.

Με # p = 5/12, ~ ρ = 7/12 #

Μπορούμε να γράψουμε ολόκληρο το άθροισμα των δυνατοτήτων - από το να πάρουμε και τα 8 ρολά που είναι ένα άθροισμα μεγαλύτερο από 7 μέχρι να πάρουμε και τα 8 ρολά που είναι ένα άθροισμα 7 ή λιγότερο:

(8/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) 7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8/12) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12)

αλλά μας ενδιαφέρει να συνοψίσουμε μόνο αυτούς τους όρους που έχουν το μεγαλύτερο από 7 ποσό που συμβαίνει 5 φορές ή λιγότερο:

(8) (5/12) ^ (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) 7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Απάντηση:

#0.93906#

Εξήγηση:

# "Έτσι P αποτέλεσμα> 7 = 15/36 = 5/12" #

# P "συμβαίνει k φορές σε 8 βολές" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k)

#"(διωνυμική κατανομή)"#

# "με" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "

#"Ετσι, "#

#P "εμφανίζεται το πολύ 5 φορές σε 8 βολές" #

# = 1 - P "εμφανίζεται 6, 7 ή 8 φορές σε 8 πετάει" #

(5/12) - 7 (7/12) - (5/12) ^ (7/12) ^ 2-C (8,7) 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#