Πώς βρίσκετε μια γραμμική προσέγγιση στην ρίζα (4) (84);

Απάντηση:

#root (4) (84) ~ ~ 3,03 #

Εξήγηση:

Σημειώστε ότι #3^4 = 81#, η οποία βρίσκεται κοντά #84#.

Έτσι #root (4) (84) # είναι λίγο μεγαλύτερο από το #3#.

Για να έχουμε μια καλύτερη προσέγγιση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια γραμμική προσέγγιση, π.χ. μέθοδο Newton.

Καθορίζω:

# f (x) = x ^ 4-84 #

Επειτα:

# f '(x) = 4x ^ 3 #

και δίδεται κατά προσέγγιση μηδέν # x = a # του # f (x) #, μια καλύτερη προσέγγιση είναι:

# a - (f (a)) / (f '(a)) #

Έτσι στην περίπτωσή μας, βάζοντας # α = 3 #, μια καλύτερη προσέγγιση είναι:

(3)) = 3- (3,44) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Αυτό είναι σχεδόν ακριβές #4# σημαντικά στοιχεία, αλλά ας παραθέσουμε την προσέγγιση ως #3.03#

Απάντηση:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Εξήγηση:

Σημειώστε ότι η γραμμική προσέγγιση κοντά σε ένα σημείο #ένα# μπορεί να δοθεί από:

# f (x) ~~ f (a) + f '(α) (χ-α) #

Εάν δοθεί: # f (x) = ρίζα (4) (x) #

τότε μια κατάλληλη επιλογή για #ένα# επιθυμών να είναι # α = 81 # γιατί γνωρίζουμε #root (4) 81 = 3 # ακριβώς και είναι κοντά #84#.

Ετσι:

# f (a) = f (81) = ρίζα (4) (81) = 3 #

Επίσης;

# f (x) = x ^ (1/4) # Έτσι (x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Ως εκ τούτου, μπορούμε να προσεγγίσουμε (κοντά #81#):

# f (x) ~~ f (a) + f '(α) (χ-α) #

#implies ρίζα (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Ετσι:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Η ακριβέστερη τιμή είναι #3.02740#

έτσι η γραμμική προσέγγιση είναι αρκετά στενή.

Απάντηση:

#root 4 (84) ~ ~ 3,02bar7 #

Εξήγηση:

Μπορούμε να πούμε ότι έχουμε μια λειτουργία # f (x) = ρίζα (4) (x) #

και # ρίζα (4) (84) = f (84) #

Τώρα, ας βρούμε το παράγωγο της λειτουργίας μας.

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα εξουσίας, ο οποίος δηλώνει ότι αν # f (x) = x ^ n #, έπειτα # f '(x) = nx ^ (n-1) # όπου # n # είναι μια σταθερά.

# f (x) = x ^ (1/4) #

=># f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=># f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=># f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=># f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Τώρα, για προσέγγιση # ρίζα (4) (84) #, προσπαθούμε να βρούμε την τέλεια τέταρτη δύναμη πλησιέστερη στο 84

Ας δούμε…

#1#

#16#

#81#

#256#

Το βλέπουμε αυτό #81# είναι η πιο κοντινή μας.

Τώρα βρίσκουμε την εφαπτόμενη γραμμή της λειτουργίας μας όταν # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=># f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=># f '(81) = 1/108 #

Αυτή είναι η κλίση που ψάχνουμε.

Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης γραμμής στη μορφή # γ = mx + b #

Λοιπόν, τι είναι # y # ίσο με το πότε # x = 81 #?

Ας δούμε…

#f (81) = ρίζα (4) (81) #

=># f (81) = 3 #

Επομένως, έχουμε τώρα:

# 3 = m81 + b # Γνωρίζουμε ότι η κλίση, # m #, είναι #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Μπορούμε να λύσουμε τώρα #σι#.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτόμενης γραμμής είναι # γ = 1 / 108χ + 2 1/4 #

Τώρα χρησιμοποιούμε 84 αντί για #Χ#.

=># γ = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># γ = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># γ = 7/9 + 9/4 #

=># γ = 28/36 + 81/36 #

=># γ = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Επομένως, #root 4 (84) ~ ~ 3,02bar7 #