Υποθέστε ότι δεν έχω τύπο για το g (x), αλλά ξέρω ότι g (1) = 3 και g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) για όλα τα x. Πώς μπορώ να χρησιμοποιήσω μια γραμμική προσέγγιση για να υπολογίσω g (0.9) και g (1.1);

Φέρτε μαζί μου λίγο, αλλά περιλαμβάνει την εξίσωση παρακέντησης-κλίσης μιας γραμμής που βασίζεται στο 1ο παράγωγο … Και θα ήθελα να σας οδηγήσω στο δρόμο προς κάνω την απάντηση, όχι μόνο δίνω εσείς η απάντηση …

Εντάξει, προτού φτάσω στην απάντηση, θα σας αφήσω να μιλήσετε για την (κάπως) χιουμοριστική συζήτηση που είχα ο σύντροφός μου και απλά είχα …

Εγώ: "Εντάξει, waitasec … Δεν ξέρετε g (x), αλλά ξέρετε ότι το παράγωγο είναι αληθινό για όλους (x) … Γιατί θέλετε να κάνετε μια γραμμική ερμηνεία με βάση το παράγωγο; το σύμπλεγμα του παραγώγου και έχετε τον αρχικό τύπο … Δικαίωμα;"

OM: "Περιμένετε, τι;" διαβάζει την παραπάνω ερώτηση "Άγιοι μολύβοι, δεν το έχω κάνει εδώ και χρόνια!"

Έτσι, αυτό οδηγεί σε μια συζήτηση μεταξύ μας για το πώς να ενσωματώσουμε αυτό, αλλά αυτό που ο καθηγητής θέλει πραγματικά (πιθανώς) δεν είναι να κάνετε την αντίστροφη λειτουργία (η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι Πραγματικά ΣΚΛΗΡΟ), αλλά να καταλάβουμε τι το πρώτο παράγωγο στην πραγματικότητα είναι.

Έτσι, γδώσαμε τα κεφάλια μας και αλέσαμε τις συλλογικές μας ηλικιακές μνήμες και τελικά συμφωνήσαμε ότι το 2ο παράγωγο είναι τα τοπικά μέγιστα / ελάχιστα και το πρώτο παράγωγο (αυτό που σας ενδιαφέρει) είναι το κλίση της καμπύλης στο δεδομένο σημείο.

Λοιπόν, τι έχει να κάνει με την τιμή των σκουληκιών στο Μεξικό; Λοιπόν, αν υποθέσουμε ότι η κλίση παραμένει σχετικά σταθερή για όλα τα "κοντινά" σημεία (για να το ξέρετε αυτό, πρέπει να κοιτάξετε την καμπύλη και να χρησιμοποιήσετε καλή κρίση με βάση αυτό που γνωρίζετε για τα πράγματα - θέλει, αυτό είναι που παίρνει!), τότε μπορούμε να κάνουμε μια γραμμική παρεμβολή - ακριβώς αυτό ζητήσατε!

Εντάξει, τότε - το κρέας της απάντησης:

Η κλίση (m) της συνάρτησης στη γνωστή μας τιμή είναι:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Επομένως, η κλίση στο γνωστό σημείο (x = 1) είναι:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Θυμηθείτε λοιπόν ότι ο τύπος για μια γραμμή (που απαιτείται για γραμμική παρεμβολή) είναι:

# γ = mx + b #

Αυτό σημαίνει ότι για τα σημεία "κοντά" στην γνωστή μας τιμή, μπορούμε να προσεγγίσουμε τις τιμές ως σε μια γραμμή με την κλίση m, και το y-intercept b. ή:

# g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Έτσι, λοιπόν, τι είναι #σι#?

Λυπούμαστε για αυτό χρησιμοποιώντας τη γνωστή μας αξία:

# g (1) = 3 #

# 4 (1) + β = 3 #

# 4 + β = 3 #

# b = -1 #

Τώρα γνωρίζουμε τον τύπο για τη γραμμή που προσεγγίζει την καμπύλη μας στο γνωστό σημείο:

g (χ#~=#1) = 4χ-1

Επομένως, δεν εισάγουμε τα σημεία προσέγγισης για να έχουμε την κατά προσέγγιση τιμή, ή:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0.9) ~ = 3.6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

και

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

# g (1,1) ~ = 3,4 #

Εύκολο, σωστά;