Πώς διαιρείτε (i + 3) / (-3i +7) σε τριγωνομετρική μορφή;

Απάντηση:

# 0.311 + 0.275i #

Εξήγηση:

Πρώτα θα ξαναγράψω τις εκφράσεις με τη μορφή # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Για έναν πολύπλοκο αριθμό # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, όπου:

# r = sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #
# theta = tan ^ -1 (b / a) #

Ας καλέσουμε # 3 + i # # z_1 # και # 7-3i # # z_2 #.

Για # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10)

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + isin (0,32)) #

Για # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0.40 ^ c #

Ωστόσο, δεδομένου ότι # 7-3i # είναι στο τεταρτημόριο 4, πρέπει να έχουμε ένα θετικό ισοδύναμο γωνίας (η αρνητική γωνία πηγαίνει δεξιόστροφα γύρω από τον κύκλο και χρειαζόμαστε μια γωνία αντίθετης προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού).

Για να έχουμε μια ισοδύναμη θετική γωνία, προσθέτουμε # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5.88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5.88) + isin (5.88)) #

Για # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

(cos) tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin (z_1 / z_2) tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi))

#color (άσπρο) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos ^ tan ^ -1 (1/3) (1/3) -tan-1 (-3/7) -2πι) -

#color (λευκό) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5,56) + isin (-5,56)

#color (άσπρο) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#color (λευκό) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0,275i #

Απόδειξη:

(7 + 3i) / (7 + 3i) / (7 + 3i) / (7 + 3i) = (21 + 7i + 9i + 3i2 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i +

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i~~0.310+0.275i#

Πώς διαιρείτε (2i + 5) / (-7 i + 7) σε τριγωνομετρική μορφή;

0.54 (cos (1.17) + isin (1.17)) Ας τις χωρίσουμε σε δυο ξεχωριστούς πολύπλοκους αριθμούς για να ξεκινήσουμε, από τους οποίους ο ένας είναι ο αριθμητής, 2i + 5 και ένας παρονομαστής, -7i + 7. Θέλουμε να τους πάρουμε από γραμμική (x + iy) μορφή σε τριγωνομετρική (r (costheta + isintheta) όπου theta είναι το όρισμα και r είναι το μέτρο. Για 2i + 5 παίρνουμε r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2 ) = sqrt29 tantheta = 2/5 -> theta = arctan (2/5) = 0,38 "rad" και για -7i + 7 παίρνουμε r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 το επιχείρημα για το δεύτερο είναι πιο δύσκολο, επειδή πρέπει να είναι μεταξύ -pi και pi. Γνωρίζουμε ότι το -

Πώς διαιρείτε (i + 2) / (9i + 14) σε τριγωνομετρική μορφή;

0.134-0.015i Για έναν σύνθετο αριθμό z = a + bi μπορεί να αναπαρασταθεί ως z = r (costheta + isintheta) όπου r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) και theta = tan ^ -1 ) (2 + i) / (14 + 9i) = (sqrt (2 ^ 2 + 1 ^ 2) )) / (sqrt (14 ^ 2 + 9 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (9/14) ) + / isin (0.46))) / (sqrt277 (cos (0.57) + isin (0.57))) cos (-theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) z_1 / z_2 = sqrt5 / sqrt277 (cos (0.46-0.57) + isin (0.46-0.57)) = sqrt1385 / 277 (cos- 0.11) ~ ~ sqrt1385 / 277 (0.99-0.11i) ~~ 0.134-0.015i Απόδειξη: (2 + i) / (14 + 9i) * (14-9i) +9) / (14 ^ 2 + 9 ^ 2) = (37-4i) /277~~0.134-0.014i

Πώς διαιρείτε (9i-5) / (-2i + 6) σε τριγωνομετρική μορφή;

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10 αλλά δεν μπορούσα να τελειώσω σε τριγωνομετρική μορφή. Αυτοί είναι ωραίοι σύνθετοι αριθμοί σε ορθογώνια μορφή. Είναι ένα μεγάλο χάσιμο χρόνου να τα μετατρέψουμε σε πολικές συντεταγμένες για να τα χωρίσουμε. Ας το δοκιμάσουμε και με τους δύο τρόπους: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} Αυτό ήταν εύκολο. Ας αντικρούσουμε. Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε -5 + 9i = sqrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i κείμενο {atan2} (9, -5)} γράφω {atan2} διορθώστε δύο παράμετροι, τετράγωνη αντίστροφη εφαπτομένη. 6-2i = sqrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2} e ^ {i κείμενο {atan2} (- 2, 6)} frac {