Πώς ενσωματώνετε int sec ^ -1x με την ενσωμάτωση με τη μέθοδο των μερών;

Απάντηση:

Η απάντηση είναι # = x "τόξο" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Εξήγηση:

Χρειαζόμαστε

# (sec ^ -1x) '= ("τόξο" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Η ενσωμάτωση ανά μέρη είναι

# intu'v = uv-intuv '#

Εδώ, έχουμε

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "τόξο" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Επομένως, #int "arc" secxdx = "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)

Εκτελέστε το δεύτερο ολοκλήρωμα με υποκατάσταση

Αφήνω # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Αφήνω # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) #

Ετσι, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Τελικά, #int "arc" secxdx = x "τόξο" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Απάντηση:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)

Εξήγηση:

Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια ελάχιστα γνωστή φόρμουλα για την επεξεργασία ολοκλήρων αντιστρόφων λειτουργιών. Ο τύπος αναφέρει:

(x) = d (x) = xf (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

όπου # f ^ -1 (x) # είναι το αντίστροφο # f (x) # και # F (x) # είναι το αντι-παράγωγο του # f (x) #.

Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε:

(x) = dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Τώρα το μόνο που χρειάζεται να επεξεργαστούμε είναι το αντι-παράγωγο #ΦΑ#, το οποίο είναι το γνωστό integral secant:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + μαύρισμα (x) | + C #

Το να το συνδέσουμε ξανά στον τύπο μας δίνει την τελική μας απάντηση:

(x) -in | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) + C #

Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όσον αφορά την απλοποίηση #tan (sec ^ -1 (x)) # προς το #sqrt (x ^ 2-1) # επειδή η ταυτότητα ισχύει μόνο εάν #Χ# είναι θετική. Είμαστε, όμως, τυχεροί, επειδή μπορούμε να διορθώσουμε αυτό, τοποθετώντας μια απόλυτη τιμή στον άλλο όρο μέσα στον λογάριθμο. Αυτό εξαλείφει επίσης την ανάγκη για την πρώτη απόλυτη τιμή, αφού τα πάντα μέσα στον λογάριθμο θα είναι πάντοτε θετικά:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #