Ποια είναι τα συνηθισμένα λάθη που κάνουν οι μαθητές με τις ελλείψεις σε τυποποιημένη μορφή;

Το τυποποιημένο έντυπο για μια έλλειψη (όπως το διδάσκω) μοιάζει με: (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) είναι το κέντρο.

η απόσταση "a" = πόσο μακριά δεξιά / αριστερά για να μετακινηθείτε από το κέντρο για να βρείτε τα οριζόντια τελικά σημεία.

η απόσταση "b" = πόσο μακριά προς τα πάνω / κάτω για να μετακινηθείτε από το κέντρο για να βρείτε τα κατακόρυφα τελικά σημεία.

Πιστεύω ότι συχνά οι μαθητές θα το σκεφτούν λανθασμένα # a ^ 2 # είναι πόσο μακριά να απομακρυνθείτε από το κέντρο για να εντοπίσετε τα τελικά σημεία. Μερικές φορές, αυτό θα ήταν μια πολύ μεγάλη απόσταση για να ταξιδέψετε!

Επίσης, νομίζω ότι μερικές φορές οι μαθητές μετακινούνται λανθασμένα προς τα πάνω / προς τα κάτω αντί για δεξιά / αριστερά όταν εφαρμόζουν αυτούς τους τύπους στα προβλήματά τους.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα για να μιλήσουμε για:

# (x-1) ^ 2/4 + (γ + 4) ^ 2/9 = 1 #

Το κέντρο είναι (1, -4). Θα πρέπει να μετακινήσετε δεξιά και αριστερά "a" = 2 μονάδες για να πάρετε τα οριζόντια τελικά σημεία στα (3, -4) και (-1, -4). (βλέπε εικόνα)

Θα πρέπει να μετακινηθείτε πάνω και κάτω "b" = 3 μονάδες για να πάρετε τα κατακόρυφα τελικά σημεία στα (1, -1) και (1, -7). (βλέπε εικόνα)

Δεδομένου ότι <b, ο κύριος άξονας θα είναι στην κατακόρυφη κατεύθυνση.

Εάν a> b, ο κύριος άξονας θα πηγαίνει στην οριζόντια κατεύθυνση!

Αν χρειαστεί να μάθετε άλλες πληροφορίες σχετικά με τις ελλείψεις, ρωτήστε μια άλλη ερώτηση!

(Σύγχυση ως προς το εάν #ένα# και #σι# αντιπροσωπεύουν τις κύριες / δευτερεύουσες ακτίνες, ή το #Χ#- & # y #-radii)

Θυμηθείτε ότι το τυποποιημένο έντυπο για μια έλλειψη επικεντρώνεται στην προέλευση είναι

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Ήδη, ωστόσο, ορισμένοι θα διαφωνήσουν με τον τύπο που αναφέρθηκε παραπάνω. Ορισμένες σχολές σκέψης το κρατούν αυτό #ένα# πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερο από #σι# και έτσι αντιπροσωπεύουν το μήκος της κύριας ακτίνας (ακόμη και αν η κύρια ακτίνα βρίσκεται στην κατακόρυφη κατεύθυνση, επιτρέποντας έτσι # γ ^ 2 / α ^ 2 # σε μια τέτοια περίπτωση), ενώ άλλοι θεωρούν ότι πρέπει πάντα να αντιπροσωπεύουν το #Χ#-radius (ακόμα και αν το #Χ#-radius είναι η δευτερεύουσα ακτίνα).

Το ίδιο ισχύει και με #σι#, αν και αντίστροφα. (δηλαδή μερικοί πιστεύουν ότι #σι# θα πρέπει πάντα να είναι η μικρή ακτίνα, και άλλοι πιστεύουν ότι πρέπει πάντα να είναι η # y #-ακτίνα κύκλου).

Βεβαιωθείτε ότι γνωρίζετε τη μέθοδο που προτιμά ο εκπαιδευτής σας (ή το πρόγραμμα που χρησιμοποιείτε). Εάν δεν υπάρχει ισχυρή προτίμηση, τότε απλά αποφασίστε μόνοι σας, αλλά να είστε συνεπείς με την απόφασή σας. Αλλάζοντας το μυαλό σας κατά το ήμισυ της διαδρομής θα καταστήσετε τα πράγματα ασαφή και αλλάζοντας το μυαλό σας κατά το ήμισυ μέσα από ένα μόνο πρόβλημα θα οδηγήσει απλώς σε λάθη.

(Ακτίνα / άξονα σύγχυση)

Η πλειοψηφία των λαθών στις ελλείψεις φαίνεται να προκύπτει από αυτή τη σύγχυση ως προς την ακτίνα που είναι μεγάλη και η οποία είναι μικρή. Άλλα πιθανά λάθη μπορεί να προκύψουν αν συγχέεται η κύρια ακτίνα με τον κύριο άξονα (ή τη μικρή ακτίνα με τον δευτερεύοντα άξονα). Ο κύριος (ή δευτερεύων) άξονας είναι ίσος με το διπλάσιο της κυρίας (ή δευτερεύουσας) ακτίνας, καθώς ουσιαστικά είναι η κύρια (ή δευτερεύουσα) διάμετρος. Ανάλογα με το βήμα όπου συμβαίνει αυτή η σύγχυση, αυτό μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρά σφάλματα στην κλίμακα για την έλλειψη.

(Ακτίνα / ακτίνα τετραγωνική σύγχυση)

Ένα παρόμοιο σφάλμα συμβαίνει όταν οι σπουδαστές ξεχνούν ότι οι παρονομαστές (# a ^ 2, b ^ 2 #) είναι τα τετράγωνα των ακτίνων και όχι οι ίδιες οι ακτίνες. Δεν είναι ασυνήθιστο να δούμε έναν μαθητή με ένα πρόβλημα όπως # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # έλξη έλλειψη με #Χ#-θέσιο 9 και # y #(4). Επιπλέον, αυτό μπορεί να συμβεί σε συνδυασμό με το παραπάνω λάθος (συγχέοντας την ακτίνα για τη διάμετρο), οδηγώντας σε αποτελέσματα όπως ένας μαθητής με την παραπάνω εξίσωση, ελλιπής με κύρια διάμετρο 9 (και έτσι μεγάλη ακτίνα 4,5) αντί της σωστής κύριας διαμέτρου 6 (και της κύριας ακτίνας 3).

(Υπερβολική και ελλειπτική σύγχυση) ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: Η απάντηση είναι αρκετά μεγάλη

Ένα άλλο σχετικά συνηθισμένο λάθος εμφανίζεται αν κάποιος απομνημονεύσει σωστά τον τύπο για την έλλειψη. Συγκεκριμένα, τα πιο συνηθισμένα από αυτά τα σφάλματα φαίνεται να συμβαίνουν όταν κάποιος συγχέει τον τύπο για τις ελλείψεις με τον τύπο για υπερβολές (που, υπενθυμίζοντας, είναι # x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # ή # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # για εκείνους που έχουν κεντρική θέση στην προέλευση, και πάλι υπόκεινται στις συμβάσεις επισήμανσης άξονα που αναφέρονται παραπάνω). Για αυτό, βοηθά να θυμόμαστε τον ορισμό των ελλειψιών και υπερβολών ως κωνικών τμημάτων.

Συγκεκριμένα, υπενθυμίζουμε ότι μια έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων που σχετίζονται με δύο εστίες # f_1 & f_2 # που βρίσκεται κατά μήκος του κύριου άξονα έτσι ώστε, για ένα αυθαίρετο σημείο #Π# στον τόπο, την απόσταση από #Π# προς το # f_1 # (με την ένδειξη # d_1 #) συν την απόσταση από #Π# προς το # f_2 # (με την ένδειξη # d_2 #) ισούται με το διπλάσιο της κύριας ακτίνας (δηλ. εάν #ένα# είναι η κύρια ακτίνα, # d_1 + d_2 = 2a #). Επιπλέον, η απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε από αυτές τις εστίες (μερικές φορές καλείται ημι-εστιακό διαχωρισμό ή γραμμική εκκεντρότητα), υποθέτοντας #ένα# είναι η κύρια ακτίνα, είναι ίση με #sqrt (α ^ 2-b ^ 2) #.

Αντίθετα, μια υπερβολή είναι ο τόπος των σημείων που σχετίζονται με δύο εστίες με τέτοιο τρόπο ώστε, για ένα σημείο #Π# στον τόπο, την απόλυτη τιμή του διαφορά μεταξύ της απόστασης του σημείου προς την πρώτη εστίαση και της απόστασης του σημείου προς τη δεύτερη εστία ισούται με το διπλάσιο της κύριας ακτίνας (δηλ #ένα# μεγάλη ακτίνα, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Περαιτέρω, η απόσταση από το κέντρο της υπερβολής σε οποιαδήποτε από αυτές τις εστίες (και πάλι, κάποιες φορές αποκαλούμενες γραμμική εκκεντρότητα, και ακόμα υποθέτουμε #ένα# κύρια ακτίνα) ισούται με #sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #.

Σχετικά με τον ορισμό των κωνικών τμημάτων, το συνολικό εκκεντρικότητα #μι# ενός τμήματος καθορίζει εάν πρόκειται για έναν κύκλο (# e = 0 #), έλλειψη (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), ή υπέρβλα (# ε> 1 #). Για τις ελλείψεις και τις υπερβολές, η εκκεντρότητα μπορεί να υπολογιστεί ως ο λόγος της γραμμικής εκκεντρότητας προς το μήκος της κύριας ακτίνας. έτσι, για μια έλλειψη θα είναι (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (και επομένως απαραίτητα λιγότερο από 1), και για μια υπερβολή θα είναι (a + 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (και επομένως απαραίτητα μεγαλύτερη από 1).