Πώς μπορώ να βρω το ολοκληρωμένο int (ln (x)) ^ 2dx;

Ο στόχος μας είναι να μειώσουμε τη δύναμη του # n x # έτσι ώστε το ολοκλήρωμα να είναι ευκολότερο να αξιολογηθεί.

Μπορούμε να επιτύχουμε αυτό χρησιμοποιώντας την ενσωμάτωση από τα μέρη. Λάβετε υπόψη τον τύπο IBP:

# int και dv = uv - int v du #

Τώρα, θα αφήσουμε # u = (lnx) ^ 2 #, και # dv = dx #.

Επομένως, #du = (2nx) / xdx #

και

#v = x #.

Τώρα, συγκεντρώνοντας τα κομμάτια μαζί, παίρνουμε:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2-int (2xlnx) / x dx #

Αυτό το νέο ολοκληρωμένο φαίνεται πολύ καλύτερα! Απλοποιώντας ένα κομμάτι και φέρνοντας το μόνιμο μπροστά, αποδίδει:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Τώρα, για να απαλλαγούμε από αυτό το επόμενο ολοκλήρωμα, θα κάνουμε μια δεύτερη ολοκλήρωση με ανταλλακτικά, αφήνοντας # u = ln x # και # dv = dx #.

Ετσι, # i = 1 / x dx # και #v = x #.

Η συναρμολόγηση μας δίνει:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Τώρα, το μόνο που έχει να κάνει είναι να απλοποιήσει, έχοντας κατά νου την προσθήκη της σταθερής ολοκλήρωσης:

#int (lnx) ^ 2dx = x (lnx) ^ 2-2xlnx + 2x + C #

Και εκεί το έχουμε. Θυμηθείτε, η ενσωμάτωση από τα μέρη αφορά τη συλλογή # u # έτσι ώστε τα ακατάστατα πράγματα να εξαλειφθούν από την ενσωμάτωση. Σε αυτή την περίπτωση φέραμε # (ln x) ^ 2 # μέχρι # n x #, και έπειτα προς τα κάτω # 1 / x #. Στο τέλος, μερικοί #Χ#'s ακυρώθηκε, και έγινε ευκολότερο να ενσωματωθεί.