Πώς μπορώ να βρω το ολοκληρωμένο int (x * cos (5x)) dx;

Θα λάβουμε υπόψη τη φόρμουλα ενσωμάτωσης με μέρη, τα οποία είναι:

# int και dv = uv - int v du #

Για να βρούμε αυτό το ολοκληρωμένο με επιτυχία θα το αφήσουμε #u = x #, και #dv = cos 5x dx #. Επομένως, #du = dx # και #v = 1/5 sin 5x #. (# v # μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα γρήγορο # u #-υποκατάσταση)

Ο λόγος που επέλεξα #Χ# για την τιμή του # u # είναι επειδή ξέρω ότι αργότερα θα καταλήξω στην ολοκλήρωση # v # πολλαπλασιασμένο επί # u #'s παράγωγο. Δεδομένου ότι το παράγωγο του # u # είναι απλά #1#, και δεδομένου ότι η ενσωμάτωση μιας λειτουργίας trig αυτή καθαυτή δεν το καθιστά πιο περίπλοκο, έχουμε καταργήσει αποτελεσματικά το #Χ# από το ενσωματωμένο και μόνο να ανησυχείτε για το ημίτονο τώρα.

Έτσι, συνδέοντας τον τύπο του IBP, παίρνουμε:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Τραβώντας το #1/5# από την ολοκλήραν μας δίνει:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5-1/5 int sin 5x dx #

Η ολοκλήρωση του ημίτονο θα πάρει μόνο ένα # u #-υποκατάσταση. Δεδομένου ότι έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει # u # για τη φόρμουλα του IBP θα χρησιμοποιήσω την επιστολή # q # αντι αυτου:

# q = 5x #

# dq = 5 dx #

Για να πάρετε ένα # 5 dx # μέσα στο integrand θα πολλαπλασιάσω το ολοκλήρωμα με άλλο #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5-1 / 25 int 5sin 5x dx #

Και, αντικαθιστώντας τα πάντα από άποψη # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5-1 / 25 int sinq * dq #

Γνωρίζουμε ότι το σύμπλεγμα των #αμαρτία# είναι # -cos #, ώστε να μπορέσουμε να ολοκληρώσουμε εύκολα αυτό το ολοκλήρωμα. Θυμηθείτε τη σταθερά της ολοκλήρωσης:

#int xcos5x dx = (χ sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Τώρα απλώς θα αντικαταστήσουμε την πλάτη # q #:

#int xcos5x dx = (χ sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Και υπάρχει το ενιαίο μας.