Εάν είναι δυνατόν, βρείτε μια συνάρτηση f τέτοια ώστε η βαθμίδα f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5);

Απάντηση:

# f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3x ^ 3 y ^ 2 + c #

Εξήγηση:

#del_x f = 4x ^ 3 + 9x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

= = f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (χ) #

# "Τώρα πάρτε" #

# C_1 (γ) = γ ^ 6 + γ #

# C_2 (χ) = χ ^ 4 + c #

# "Έπειτα έχουμε ένα και το αυτό f, το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες." #

(x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3x ^ 3 y ^ 2 + c #

Απάντηση:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Εξήγηση:

Έχουμε φτωχή σημείωση στην ερώτηση, καθώς ο del operator (ή ο χειριστής κλίσης) είναι ένας φορέας διαφορικού φορέα, Επιδιώκουμε μια λειτουργία # f (x, y) # έτσι ώστε:

# bb (βαθμός) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Οπου #bb (grad) # είναι ο χειριστής κλίσης:

(μερική f) / (μερική x) bb (ul hat i) + (μερική f) / (μερική x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Από τα οποία απαιτούμε ότι:

# f_x = (μερική f) / (μερική x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. ΕΝΑ

# f_y = (μερική f) / (μερική y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Αν ενσωματώσουμε το A wrt #Χ#, ενώ θεραπεύεται # y # ως σταθερά τότε παίρνουμε:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

(x) + c (x) + (x)

Αν ενσωματώσουμε το B wrt # y #, ενώ θεραπεύεται #Χ# ως σταθερά τότε παίρνουμε:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Οπου #u (y) # είναι αυθαίρετη λειτουργία του # y # μόνο, και # v (x) # είναι μια αυθαίρετη λειτουργία του #Χ# μόνος.

Απαιτούμε προφανώς αυτές οι λειτουργίες να είναι ίδιες, έτσι έχουμε:

(x) + c (x) + x (x) + (x)

#:. x + 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Και έτσι επιλέγουμε # V (x) = x ^ 4 # και # u (y) = y ^ 6 #, που μας δίνει τη λύση:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε άμεσα τη λύση υπολογίζοντας τα μερικά παράγωγα:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (βαθμός) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED