Έστω ότι f είναι μια συνεχής συνάρτηση: α) Βρείτε f (4) εάν _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx για όλα τα x. β) Βρείτε f (4) εάν _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx για όλα τα x;

Απάντηση:

ένα) # f (4) = pi / 2 #. σι) # f (4) = 0 #

Εξήγηση:

ένα) Διαφοροποιήστε και τις δύο πλευρές.

Μέσα από το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμικού στην αριστερή πλευρά και τους κανόνες προϊόντων και αλυσίδας στη δεξιά πλευρά, βλέπουμε ότι η διαφοροποίηση αποκαλύπτει ότι:

# f (x ^ 2) * 2χ = αμαρτία (pix) + pixcos (pix) #

Εκμίσθωση # x = 2 # δείχνει ότι

# f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

# f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

# f (4) = pi / 2 #

σι) Ενσωμάτωση του εσωτερικού όρου.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Αξιολογώ.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Αφήνω # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

# f (4) = 0 #