Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;

Αφήνω # V # είναι ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, στο # cm ^ 3 #. αφήνω # h # είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας # r # είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν αυτό # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # έτσι ώστε # h = 3r #.

Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου του νερού είναι τότε { Frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}.

Τώρα διαφοροποιήστε και τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο # t # (σε λεπτά) για να πάρετε # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (ο κανόνας αλυσίδας χρησιμοποιείται σε αυτό το βήμα).

Αν # V_ {i} # είναι ο όγκος του νερού που έχει αντληθεί, τότε frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi (όταν το ύψος / το βάθος του νερού είναι 2 μέτρα, η ακτίνα του νερού είναι # frac {200} {3} # εκ).

Επομένως # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 περίπου 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min}.