Ποιες είναι όλες οι τιμές για το k για τις οποίες int_2 ^ kx ^ 5dx = 0;

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

και

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # αλλά

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # και

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # Έτσι

(k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2)

ή

(k = 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0), (k + 2 = 0)

τότε τελικά

πραγματικές τιμές # k = {-2,2} #

πολύπλοκες τιμές #k = {1μμ i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Απάντηση:

# k = + - 2 #

Εξήγηση:

Απαιτούμε:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Η ενσωμάτωση:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 χρώμα (λευκό) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Υποθέτοντας ότι # k σε RR # (υπάρχουν πραγματικά #6# ρίζες, #4# από τα οποία είναι πολύπλοκα)

Τώρα, ανάλογα με το πλαίσιο του προβλήματος, θα μπορούσε κανείς να το υποστηρίξει # k <2 # (δηλ # k = -2 #) δεν είναι έγκυρη ως # k> = 2 # να κάνει το εσωτερικό "σωστό" αποκλείοντας έτσι τη λύση αυτή, αλλά χωρίς κανένα πλαίσιο είναι λογικό να συμπεριληφθούν και οι δύο λύσεις.

Επίσης, σημειώστε ότι # k = + - 2 # θα μπορούσαν να αποδειχθούν λύσεις χωρίς να πραγματοποιηθεί καμία ολοκλήρωση.

Πρώτον, μια ιδιότητα συγκεκριμένων ολοκληρώσεων είναι ότι:

# int_a ^ f (x) = 0 #

έτσι ώστε να μπορέσουμε να τα καταστήσουμε αμέσως # k = 2 # είναι μια λύση.

Κατα δευτερον, # x ^ 5 # είναι ένα Περιττός λειτουργία και οι μονές λειτουργίες ικανοποιούν:

# f (-x) = f (x) #

και έχουν περιστροφική συμμετρία σχετικά με την προέλευση. ως τέτοια, εάν # f (x) # είναι παράξενο τότε:

# int_ (α) ^ a f (x) = 0 #

έτσι ώστε να μπορέσουμε να τα καταστήσουμε αμέσως # k = -2 # είναι μια λύση.

Ωστόσο, η ολοκλήρωση και οι μεταγενέστεροι υπολογισμοί αποδεικνύουν ότι αυτές είναι οι μόνες λύσεις!