Ποιες είναι οι τιμές του m για τις οποίες η εξίσωση x (x-1) (x-2) (x-3) = m έχει όλες τις ρίζες πραγματικούς αριθμούς;

Απάντηση:

# m le (5/4) ^ 2-1 #

Εξήγηση:

Αυτό το έχουμε (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Τώρα κάνει

(x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # και τους συντελεστές εξίσωσης που παίρνουμε

(a = 4 + a ^ 2b + c + m = 0), (4a3 + 2a6-6 = 0) -6 = 0):} #

Επίλυση για #αλφάβητο# παίρνουμε

# a = 3/2, b = -5 / 2, c = 1/16 (9-16m) # ή

(x-3/2) ^ 4-5 / 2 (χ-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 # #

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για #Χ# παίρνουμε

# x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Αυτές οι ρίζες είναι πραγματικές αν # 5 μμ 4sqrt (m + 1) ge 0 # ή

# m le (5/4) ^ 2-1 #