Η τέταρτη ισχύς της κοινής διαφοράς μιας αριθμητικής εξέλιξης με ακέραιες εγγραφές προστίθεται στο προϊόν οποιωνδήποτε τεσσάρων διαδοχικών όρων της. Αποδείξτε ότι το προκύπτον ποσό είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού;

Αφήνω την κοινή διαφορά ενός ΑΡ των ακεραίων # 2d #.

Οποιοσδήποτε τεσσάρων διαδοχικοί όροι της εξέλιξης μπορεί να εκπροσωπείται ως # α-3d, α-ά, α + δ και α + 3d #, όπου #ένα# είναι ένας ακέραιος αριθμός.

Έτσι, το άθροισμα των προϊόντων αυτών των τεσσάρων όρων και της τέταρτης δύναμης της κοινής διαφοράς # (2δ) ^ 4 # θα είναι

(α-3d) (a + d) (a + 3d)) + χρώμα (κόκκινο) ((2d) ^ 4) #

(α ^ 2-d ^ 2)) + χρώμα (κόκκινο) (16d ^ 4) #

# = χρώμα (μπλε) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + χρώμα (κόκκινο)

# = χρώμα (πράσινο) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = χρώμα (πράσινο) ((α ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, το οποίο είναι ένα τέλειο τετράγωνο.

Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι 23 μικρότερο από το τετράγωνο ενός δεύτερου αριθμού. Εάν ο δεύτερος αριθμός είναι 1 περισσότερο από τον πρώτο, ποιοι είναι οι δύο αριθμοί;

Οι αριθμοί είναι 11 και 12 Έστω ότι ο πρώτος αριθμός είναι f και ο δεύτερος αριθμός είναι τώρα Τώρα το τετράγωνο του πρώτου αριθμού είναι 23 μικρότερο από το τετράγωνο του δεύτερου αριθ. Δηλαδή. f ^ 2 + 23 = s ^ 2. . . . . (1) Ο δεύτερος αριθμός είναι 1 περισσότερο από τον πρώτο ie f + 1 = s. . . . . . . . . . (2), τετράγωνο (2), παίρνουμε (f + 1) ^ 2 = s ^ 2 που επεκτείνεται f ^ 2 + 2 * f + 1 = s ^ 2. . . . . (3) Τώρα (3) - (1) δίνεται 2 * f - 22 = 0 ή 2 * f = 22 έτσι οι f = 22/2 = 11 και s = f + 1 = 11 + 1 = 11 & 12

Το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων όρων ενός GP είναι 30 και αυτό των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι 960. Εάν ο πρώτος και τελευταίος όρος του GP είναι 2 και 512 αντίστοιχα, βρες την κοινή αναλογία.

2ο έμβρυο (3) 2. Υποθέστε ότι ο κοινός λόγος (cr) του εν λόγω GP είναι r και n ^ (th) ο όρος είναι ο τελευταίος όρος. Δεδομένου ότι ο πρώτος όρος του GP είναι 2: "Ο GP είναι" {2,2r, 2r ^ 2,2r ^ 3, .., 2r ^ (n-4), 2r ^ (n-3) , 2γ ^ (η-2), 2γ ^ (η-1)}. Δεδομένου ότι 2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3 = 30 ... (star ^ 1) και 2r ^ (n-4) + 2r ^ 2γ ^ (η-1) = 960 ... (αστέρας ^ 2). Γνωρίζουμε επίσης ότι ο τελευταίος όρος είναι 512.:. r ^ (η-1) = 512 .................... (αστερίο ^ 3). Τώρα, (άστρο ^ 2) rArr r ^ (n-4) (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960, + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960. :. (512) / r ^ 3 (30) = 960 ...... [επειδή, (star ^ 1)

Αποδείξτε ότι οι αριθμοί της ακολουθίας 121, 12321, 1234321, ..... είναι το καθένα ένα τέλειο τετράγωνο ενός περιττού ακέραιου αριθμού;

Σημειώνουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του 12345678910987654321 δεν είναι ένας ακέραιος αριθμός, επομένως το μοτίβο μας ανέρχεται μόνο στο 12345678987654321. Καθώς το σχέδιο είναι πεπερασμένο, μπορούμε να το αποδείξουμε άμεσα. Σημειώστε ότι: 11 ^ 2 = 121 111 ^ 2 = 12321 1111 ^ 2 = 1234321 ... 111111111 ^ 2 = 12345678987654321 Σε κάθε περίπτωση, έχουμε έναν αριθμό που αποτελείται εξ ολοκλήρου από 1 τετράγωνο για απόδοση του αποτελέσματός μας. Επειδή αυτοί οι αριθμοί τελειώνουν σε 1, πρέπει να είναι περίεργο. Έτσι, αποδείξαμε ότι 121, 12321, ..., 12345678987654321 είναι όλα τέλεια τετράγωνα παράξενων ακέραιων αριθμών.