Σημειώνουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του 12345678910987654321 δεν είναι ένας ακέραιος αριθμός, επομένως το μοτίβο μας ανέρχεται μόνο στο 12345678987654321. Καθώς το σχέδιο είναι πεπερασμένο, μπορούμε να το αποδείξουμε άμεσα.
Σημειώστε ότι:
Σε κάθε περίπτωση, έχουμε έναν αριθμό που αποτελείται εξ ολοκλήρου από
Ο πρώτος και ο δεύτερος όρος μιας γεωμετρικής ακολουθίας είναι αντίστοιχα ο πρώτος και ο τρίτος όρος μιας γραμμικής ακολουθίας. Ο τέταρτος όρος της γραμμικής ακολουθίας είναι 10 και το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων είναι 60. Βρείτε τους πρώτους πέντε όρους της γραμμικής ακολουθίας;
{16, 14, 12, 10, 8} Μια τυπική γεωμετρική ακολουθία μπορεί να αναπαρασταθεί ως c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k και μια τυπική αριθμητική αλληλουχία όπως c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Καλέστε c_0 α ως το πρώτο στοιχείο για την γεωμετρική ακολουθία που έχουμε {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Πρώτη και δεύτερη GS είναι η πρώτη και η τρίτη του LS"), (c_0a + 3Delta = > "Ο τέταρτος όρος της γραμμικής ακολουθίας είναι 10"), (5c_0a + 10Delta = 60-> "Το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων είναι 60"):} Επίλυση για c_0, a, Delta λαμβάνουμε c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 και
Η τέταρτη ισχύς της κοινής διαφοράς μιας αριθμητικής εξέλιξης με ακέραιες εγγραφές προστίθεται στο προϊόν οποιωνδήποτε τεσσάρων διαδοχικών όρων της. Αποδείξτε ότι το προκύπτον ποσό είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού;
Αφήστε την κοινή διαφορά ενός ΑΡ των ακεραίων να είναι 2δ. Οποιοσδήποτε από τους τέσσερις διαδοχικούς όρους της εξέλιξης μπορεί να αναπαρασταθεί ως a-3d, a-d, a + d και a + 3d, όπου a είναι ένας ακέραιος αριθμός. Έτσι το άθροισμα των προϊόντων αυτών των τεσσάρων όρων και της τέταρτης δύναμης της κοινής διαφοράς (2δ) ^ 4 θα είναι το χρώμα (μπλε) (α-3d) (ad) (a + d) (a + 3d) χρώμα (κόκκινο) ((2d) ^ 4) = χρώμα (μπλε) (α ^ 2-9d ^ 2) ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + χρώμα (κόκκινο) (16d ^ 4) (πράσινο) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2, το οποίο είναι ένα τέλειο τετράγωνο.
Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι 23 μικρότερο από το τετράγωνο ενός δεύτερου αριθμού. Εάν ο δεύτερος αριθμός είναι 1 περισσότερο από τον πρώτο, ποιοι είναι οι δύο αριθμοί;
Οι αριθμοί είναι 11 και 12 Έστω ότι ο πρώτος αριθμός είναι f και ο δεύτερος αριθμός είναι τώρα Τώρα το τετράγωνο του πρώτου αριθμού είναι 23 μικρότερο από το τετράγωνο του δεύτερου αριθ. Δηλαδή. f ^ 2 + 23 = s ^ 2. . . . . (1) Ο δεύτερος αριθμός είναι 1 περισσότερο από τον πρώτο ie f + 1 = s. . . . . . . . . . (2), τετράγωνο (2), παίρνουμε (f + 1) ^ 2 = s ^ 2 που επεκτείνεται f ^ 2 + 2 * f + 1 = s ^ 2. . . . . (3) Τώρα (3) - (1) δίνεται 2 * f - 22 = 0 ή 2 * f = 22 έτσι οι f = 22/2 = 11 και s = f + 1 = 11 + 1 = 11 & 12