Πώς μπορώ να βρω το ολοκληρωμένο int (x * e ^ -x) dx;

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Επεξεργάζομαι, διαδικασία:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Αυτό το ολοκλήρωμα θα απαιτήσει ολοκλήρωση με μέρη. Λάβετε υπόψη τον τύπο:

# int και dv = uv - int v du #

Θα αφήσουμε #u = x #, και #dv = e ^ (- x) dx #.

Επομένως, #du = dx #. Εύρεση # v # θα χρειαστεί ένα # u #-υποκατάσταση; Θα χρησιμοποιήσω την επιστολή # q # αντί # u # δεδομένου ότι ήδη χρησιμοποιούμε # u # στην ενσωμάτωση με τον τύπο των τμημάτων.

#v = int e ^ (- x) dx #

αφήνω # q = -x #.

έτσι, #dq = -dx #

Θα ξαναγράψουμε το ολοκλήρωμα, προσθέτοντας δυο αρνητικά για να το προσαρμόσουμε # dq #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Γραπτή με όρους # q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Επομένως,

#v = -e ^ (q) #

Αντικατάσταση πίσω για # q # μας δίνει:

#v = -e ^ (- x) #

Τώρα, κοιτάζοντας πίσω στη φόρμουλα του IBP, έχουμε ό, τι χρειαζόμαστε για να αρχίσουμε να αντικαθιστούμε:

(x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Απλοποιήστε, ακυρώνοντας τα δύο αρνητικά:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Αυτό το δεύτερο ολοκλήρωμα πρέπει να είναι εύκολο να λυθεί - είναι ίσο με # v #, την οποία έχουμε ήδη βρει. Απλά αντικαταστήστε, αλλά θυμηθείτε να προσθέσετε τη σταθερή ολοκλήρωση:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #