Πώς θα ενσωματώσετε int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx;

Απάντηση:

Αυτό το ενιαίο δεν υπάρχει.

Εξήγηση:

Από # n x> 0 # στο διάστημα # 1, e #, έχουμε

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

εδώ, έτσι ώστε να γίνει το ολοκλήρωμα

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Υποκατάστατο #ln x = u #, έπειτα # dx / x = du # έτσι ώστε

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du}

Αυτό είναι ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα, αφού το integrand αποκλίνει στο κατώτερο όριο. Αυτό ορίζεται ως

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

αν υπάρχει. Τώρα

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

δεδομένου ότι αυτό αποκλίνει στο όριο #l -> 0 ^ + #, το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει.

Απάντηση:

# pi / 2 #

Εξήγηση:

Το ενιαίο # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Αναπληρώστε πρώτα # u = ln (x) # και # "d" u = ("d" x) / x #.

Έτσι, έχουμε

(x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Τώρα, αντικαταστήστε # u = αμαρτία (v) # και # "d" u = cos (v) "d" v #.

Επειτα, (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v)))) "δ" ν # Από # 1-sin ^ 2 (ν) = cos ^ 2 (ν) #.

Συνεχίζοντας, έχουμε

(x = e) = arcsin (u) (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi /