Πώς να ενσωματώσετε sqrt (x ^ 2 + 4x) dx;

Απάντηση:

(x + 2) / 2) + 2 (2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^

Εξήγηση:

Δεδομένου ότι είναι ευκολότερο να αντιμετωπιστεί μόνο ένας #Χ# κάτω από μια τετραγωνική ρίζα, συμπληρώνουμε το τετράγωνο:

# x ^ 2 + 4x = (χ + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (χ + 2) ^ 2-4 #

(x + 2) 4) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Τώρα πρέπει να κάνουμε τριγωνομετρική υποκατάσταση. Πάω να χρησιμοποιήσω υπερβολικές λειτουργίες trig (επειδή το secant integral συνήθως δεν είναι πολύ ωραίο). Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη ταυτότητα:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Για να το κάνουμε αυτό, θέλουμε # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Μπορούμε να λύσουμε για #Χ# για να πάρουμε ό, τι υποκατάστατο χρειαζόμαστε:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Να ενσωματωθεί σε σχέση με #θήτα#, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το παράγωγο του #Χ# σε σχέση με #θήτα#:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta)

= (2) = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt

= 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta =

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

= 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Τώρα χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Θα μπορούσαμε να κάνουμε μια ρητή u-αντικατάσταση για # 2cosh (2theta) #, αλλά είναι αρκετά προφανές ότι η απάντηση είναι #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Τώρα πρέπει να ακυρώσουμε την αντικατάσταση. Μπορούμε να λύσουμε για #θήτα# να πάρω:

# theta = cosh ^ -1 ((χ + 2) / 2) #

Αυτό δίνει:

2sh ^ -1 ((χ + 2) / 2)) -2cosh ^ -1 ((χ + 2) / 2) + C #

Πώς θα ενσωματώσετε int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx;

Αυτό το ενιαίο δεν υπάρχει. Από το ln x> 0 στο διάστημα [1, e], έχουμε sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x εδώ, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα να γίνει int_1 ^ e dx / {x ln x} Αντικαταστήστε ln x = u, τότε dx / x = du έτσι ώστε int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Αυτό είναι ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα, αφού το integrand αποκλίνει στο κάτω όριο. Αυτό ορίζεται ως lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u αν υπάρχει. Τώρα, int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln 1 αφού αυτό αποκλίνει στο όριο l -> 0 ^ +, το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει.

Πώς να ενσωματώσετε int x ^ lnx;

Int = x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Αρχίζουμε με u αντικατάσταση με u = ln (x). Στη συνέχεια, διαιρούμε με το παράγωγο του u να ενσωματώσουμε σε σχέση με το u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Τώρα πρέπει να λύσουμε x από την άποψη u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u (e ^ u) 2 + u) du Μπορεί να υποθέσετε ότι αυτό δεν έχει ένα στοιχειώδες αντι-παράγωγο, και θα έχετε δίκιο. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε τη φόρμα για τη φανταστική συνάρτηση σφάλματος erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Για να έχουμε το ολοκλήρωμα μας σε αυτή τη μορφή, στον

Πώς να ενσωματώσετε (x ^ 2-9) ^ (3/2) dx?

Επίλυση! x ^ 3/4 sqrt (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8in (x + sqrt (x ^ 2-9) (sec u) ^ 5