Πώς να ενσωματώσετε int x ^ lnx;

Απάντηση:

(1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) + 1/2) + C #

Εξήγηση:

Αρχίζουμε με u-αντικατάσταση με # u = ln (x) #. Στη συνέχεια διαιρούμε με το παράγωγο του # u # να ενσωματώσει σε σχέση με # u #:

# (du) / dx = 1 / χ #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Τώρα πρέπει να λύσουμε #Χ# από την άποψη του # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u

Μπορεί να μαντέψετε ότι αυτό δεν έχει ένα στοιχειώδες αντιπαραγωγικό, και θα έχετε δίκιο. Ωστόσο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φόρμα για τη φανταστική λειτουργία σφάλματος, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Για να έχουμε το ολοκλήρωμα σε αυτή τη μορφή, μπορούμε να έχουμε μόνο μία τετράγωνη μεταβλητή στον εκθέτη της #μι#, οπότε πρέπει να ολοκληρώσουμε το τετράγωνο:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

(u1 + 2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Τώρα μπορούμε να εισαγάγουμε u-αντικατάσταση με # t = u + 1/2 #. Το παράγωγο είναι απλά #1#, οπότε δεν χρειάζεται να κάνουμε κάτι ιδιαίτερο για να ενσωματώσουμε σε σχέση με # t #:

(1/4) int = e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Τώρα μπορούμε να αναιρέσουμε όλες τις υποκαταστάσεις για να πάρουμε:

(1 + 2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) + 1/2) + C #

Πώς θα ενσωματώσετε int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx;

Αυτό το ενιαίο δεν υπάρχει. Από το ln x> 0 στο διάστημα [1, e], έχουμε sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x εδώ, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα να γίνει int_1 ^ e dx / {x ln x} Αντικαταστήστε ln x = u, τότε dx / x = du έτσι ώστε int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Αυτό είναι ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα, αφού το integrand αποκλίνει στο κάτω όριο. Αυτό ορίζεται ως lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u αν υπάρχει. Τώρα, int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln 1 αφού αυτό αποκλίνει στο όριο l -> 0 ^ +, το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει.

Πώς να ενσωματώσετε int e ^ x sinx cosx dx;

(2x) + e (x) = 5cos (2x) + C Πρώτα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα: 2sinthetacostheta = sin2x που δίνει: int e ^ xsinxcosx dx = 2int e ^ xsin (2x) dx Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ενσωμάτωση με μέρη. Ο τύπος είναι: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) 2x) και g '(x) = e ^ x / 2. Εφαρμόζοντας τον τύπο, παίρνουμε: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / , αυτή τη φορά με f (x) = cos (2χ) και g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2in (2x) (2χ) e ^ x / 2-cos (2χ) e ^ x ^ 2int sin (2x) e ^ x dx Τώρα έχουμε το αναπόσπαστο και στις δύο πλευρές της ισότητας, έτσι μπορούμε να το λύσουμε σαν μια εξίσωση. Πρώτον

Πώς να ενσωματώσετε int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx με μερικά κλάσματα;

(X + 1) + (x + 1) ^ - 1 + C Έτσι, γράφουμε πρώτα αυτό: (6x ^ 2 + 13x + 6) / (x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Με την προσθήκη παίρνουμε: (6x ^ 2 + 13x + 6 (x + 1) + 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) (X + 2) (x + 1) + C)) / (x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + (2) + 2 = (2) + 2 = (2 + 2) (X + 2) (B (x + 1) + C) Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας χ = -1 μας δίνει: 6 (-1) ^ 2 + (X + 2) (B (x + 1) -1) Τώρα χρησιμοποιούμε το x = 0 (1) + 6 = μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε τιμή που δεν έχει χρησιμοποιηθεί): 6 = 4 + 2 (B-1) 2 (B-1) = 2 B-1 = 1 B = 2 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (X + 2) (x + 1) 2) = 4 / (x