Έχουμε μια ημι-κυλινδρική οροφή με ακτίνα r και ύψος r τοποθετημένη πάνω από τέσσερα ορθογώνια τοιχώματα ύψους h. Έχουμε 200π m ^ 2 από πλαστικό φύλλο που θα χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή αυτής της δομής. Ποια είναι η τιμή του r που επιτρέπει μέγιστη ένταση;

Απάντηση:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Εξήγηση:

Επιτρέψτε μου να επαναλάβω την ερώτηση όπως την καταλαβαίνω.

Υπό την προϋπόθεση ότι το εμβαδόν του αντικειμένου αυτού είναι # 200pi #, μεγιστοποιήστε την ένταση.

Σχέδιο

Γνωρίζοντας την επιφάνεια, μπορούμε να αντιπροσωπεύουμε ένα ύψος # h # ως συνάρτηση της ακτίνας # r #, τότε μπορούμε να αναπαριστούμε τον όγκο ως συνάρτηση μόνο μίας παραμέτρου - ακτίνας # r #.

Αυτή η λειτουργία πρέπει να μεγιστοποιηθεί χρησιμοποιώντας # r # ως παράμετρο. Αυτό δίνει την τιμή του # r #.

Η επιφάνεια περιλαμβάνει:

4 τοίχους που σχηματίζουν μια πλευρική επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου με περίμετρο βάσης # 6r # και το ύψος # h #, που έχουν συνολική έκταση # 6rh #.

1 στέγη, το ήμισυ μιας πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου ακτίνας # r # και ύψος # r #, που έχει έκταση #pi r ^ 2 #

2 πλευρές της οροφής, ημικυκλικά ακτίνας # r #, η συνολική έκταση της οποίας είναι #pi r ^ 2 #.

Η προκύπτουσα συνολική επιφάνεια ενός αντικειμένου είναι

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Γνωρίζοντας ότι αυτό είναι ίσο με # 200pi #, μπορούμε να εκφράσουμε # h # από την άποψη του # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) -pi / 3r ##

Ο όγκος αυτού του αντικειμένου έχει δύο μέρη: Κάτω από την οροφή και μέσα στην οροφή.

Κάτω από την οροφή έχουμε ένα παραλληλεπίπεδο με την περιοχή της βάσης # 2r ^ 2 # και το ύψος # h #, δηλαδή ο όγκος του είναι

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Μέσα στην οροφή έχουμε μισό κύλινδρο με ακτίνα # r # και το ύψος # r #, ο όγκος του είναι

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Πρέπει να μεγιστοποιήσουμε τη λειτουργία

# V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 =

που μοιάζει με αυτό (όχι σε κλίμακα)

διάγραμμα {2χ-0.6χ ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Αυτή η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο όταν το παράγωγο της είναι ίσο με το μηδέν για ένα θετικό επιχείρημα.

# V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Στην περιοχή του # r> 0 # είναι ίσο με το μηδέν όταν # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Αυτή είναι η ακτίνα που δίνει τον μεγαλύτερο όγκο, δεδομένης της επιφάνειας και του σχήματος ενός αντικειμένου.