Το νερό που διαρρέει σε ένα δάπεδο σχηματίζει μια κυκλική πισίνα. Η ακτίνα της πισίνας αυξάνεται με ρυθμό 4 cm / min. Πόσο γρήγορα αυξάνεται η περιοχή της πισίνας όταν η ακτίνα είναι 5 cm;

Απάντηση:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ λεπτό" #

Εξήγηση:

Πρώτον, πρέπει να ξεκινήσουμε με μια εξίσωση που γνωρίζουμε σχετικά με την περιοχή ενός κύκλου, την πισίνα και την ακτίνα της:

# Α = pir ^ 2 #

Ωστόσο, θέλουμε να δούμε πόσο γρήγορα αυξάνεται η περιοχή της πισίνας, η οποία ακούγεται πολύ σαν ποσοστό … το οποίο ακούγεται πολύ σαν παράγωγο.

Αν πάρουμε το παράγωγο του # Α = pir ^ 2 # σε σχέση με το χρόνο, # t #, βλέπουμε ότι:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Μην ξεχνάτε ότι ο κανόνας της αλυσίδας ισχύει στη δεξιά πλευρά, με # r ^ 2 #- αυτό είναι παρόμοιο με τη σιωπηρή διαφοροποίηση.)

Έτσι, θέλουμε να καθορίσουμε # (dA) / dt #. Η ερώτηση μας το έλεγε αυτό # (dr) / dt = 4 # όταν είπε "η ακτίνα της πισίνας αυξάνεται με ρυθμό #4# cm / min, "και γνωρίζουμε επίσης ότι θέλουμε να βρούμε # (dA) / dt # πότε # r = 5 #. Συνδέοντας αυτές τις τιμές, βλέπουμε ότι:

# (dA) / dt = π * 2 (5) * 4 = 40ρρ #

Για να το θέσουμε αυτό σε λέξεις, λέμε ότι:

Η περιοχή της πισίνας αυξάνεται με ρυθμό # bb40pi # εκ# "" ^ bb2 #/ λεπτό όταν η ακτίνα του κύκλου είναι # bb5 # εκ.

Η οικογένεια Goode έχτισε μια ορθογώνια πισίνα στο κατώφλι τους. Το δάπεδο της πισίνας έχει έκταση 485 5/8 τετραγωνικά πόδια. Εάν το πλάτος της πισίνας είναι 18 1/2 πόδια, ποιο είναι το μήκος της πισίνας;

Το μήκος της πισίνας είναι 26 1/4 ft. Το εμβαδόν του ορθογωνίου μήκους (x) και πλάτους (y) είναι A = x * y. Α = 485 5/8 = 3885/8 sq.ft, γ = 18 1/2 = 37/2 ft:. x = A / y ή x = (3885/8) -: (37/2) ή x = 3885/8 * 2/37 ή x = 105/4 = 26 1/4 πόδια. / 4 πόδια [Ans]

Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;

Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ

Όταν η πισίνα του Jane ήταν νέα, θα μπορούσε να γεμίσει σε 6 λεπτά, με νερό από μάνικα. Τώρα που η πισίνα έχει αρκετές διαρροές, χρειάζονται μόνο 8 λεπτά, για να διαρρεύσει όλο το νερό από την πλήρη πισίνα. Πόσο καιρό χρειάζεται για να γεμίσει η διαρροή πισίνα;

24 λεπτά Εάν η συνολική ποσότητα της πισίνας είναι x μονάδες, τότε κάθε λεπτό x / 6 μονάδες νερού τοποθετούνται στην πισίνα. Ομοίως, x / 8 μονάδες νερού διαρρέουν από την πισίνα κάθε λεπτό. Ως εκ τούτου, (+) χ / 6 - χ / 8 = χ / 24 μονάδες νερού γεμίζονται ανά λεπτό. Κατά συνέπεια, η πισίνα χρειάζεται 24 λεπτά για να πληρωθεί.