Ποια είναι η σημασία του μερικού παραγώγου; Δώστε ένα παράδειγμα και με βοηθήστε να καταλάβω εν συντομία.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Ελπίζω ότι βοηθάει.

Το μερικό παράγωγο συνδέεται εγγενώς με τη συνολική μεταβολή.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια λειτουργία # f (x, y) # και θέλουμε να μάθουμε πόσο ποικίλλει όταν εισάγουμε μια αύξηση σε κάθε μεταβλητή.

Διορθώνοντας ιδέες, κάνοντας # f (χ, γ) = k x y # θέλουμε να μάθουμε πόσο είναι

(x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Στο παράδειγμα λειτουργίας μας έχουμε

(x + dy) = k x y + k xdx + k ydy + k dx dy # (x + dx, y + dy)

και μετά

(x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Επιλέγοντας # dx, dy # αυθαίρετα μικρό τότε # dx dy περίπου 0 # και μετά

(x, y) = k x dx + k y dy #

αλλά γενικά

(x, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy)

(X, y + dy) -f (x, y)) / dy dx + 1/2 (f (x + dx, y)

(X + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f +, γ)) / dy dy #

τώρα κάνει # dx, dy # αυθαίρετα μικρά έχουμε

(x, y) dy = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική μεταβολή μιας δεδομένης συνάρτησης, υπολογίζοντας τα μερικά παράγωγα # f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # και σύνθετο

# x (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Εδώ, οι ποσότητες # f_ (x_i) # ονομάζονται μερικά παράγωγα και μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως

# (μερική f) / (μερική x_i) #

Στο παράδειγμά μας

# f_x = (μερική f) / (μερική x) = k x # και

# f_y = (μερική f) / (μερική y) = k y #

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

(x, y) = lim ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (χ, γ)

(x, y) = f (x, y) = lim _ (dx -> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, γ + dy) -f (χ, γ)

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Για να συμπληρώσω την παραπάνω απάντηση του Cesareo, θα σας δώσω έναν λιγότερο αυστηρό μαθηματικό εισαγωγικό ορισμό.

Το μερικό παράγωγο, χαλαρά, μας λέει πόσο θα αλλάξει μια συνάρτηση πολλαπλών μεταβλητών όταν κρατάτε σταθερές άλλες μεταβλητές. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται

# U (A, t) = Α ^ 2t #

Οπου # U # είναι η λειτουργία χρησιμότητας (ευτυχία) ενός συγκεκριμένου προϊόντος, #ΕΝΑ# είναι η ποσότητα του προϊόντος και # t # είναι η ώρα για την οποία χρησιμοποιείται το προϊόν.

Ας υποθέσουμε ότι η εταιρεία που κατασκευάζει το προϊόν θα ήθελε να μάθει πόση περισσότερη χρησιμότητα μπορεί να πάρει από αυτό αν αυξήσει τη διάρκεια ζωής του προϊόντος κατά 1 μονάδα. Το μερικό παράγωγο θα δείξει στην εταιρεία αυτή την αξία.

Το μερικό παράγωγο δηλώνεται γενικά με το πεντάγραμμο δέλτα ελληνικής γραμματοσειράς (#μερικός#), αλλά υπάρχουν και άλλες σημειώσεις. Θα χρησιμοποιήσουμε #μερικός# προς το παρόν.

Εάν προσπαθούμε να βρούμε πόση χρησιμότητα αλλάζει η χρησιμότητα του προϊόντος με μια αύξηση του χρόνου κατά μία μονάδα, υπολογίζουμε το μερικό παράγωγο της χρησιμότητας σε σχέση με το χρόνο:

# (μερικήU) / (partialt) #

Για να υπολογίσετε το PD, διατηρούμε σταθερές άλλες μεταβλητές. Σε αυτή την περίπτωση, αντιμετωπίζουμε # A ^ 2 #, η άλλη μεταβλητή, σαν να ήταν ένας αριθμός. Ανάκληση από εισαγωγικό λογισμό ότι το παράγωγο μιας σταθερής χρονικής περιόδου μια μεταβλητή είναι ακριβώς η σταθερά. Είναι η ίδια ιδέα εδώ: το (μερικό) παράγωγο του # A ^ 2 #, μια σταθερή, φορές # t #, η μεταβλητή, είναι μόνο η σταθερά:

# (μερικήU) / (partialt) = A ^ 2 #

Έτσι, παράγεται μία αύξηση μονάδας κατά τη διάρκεια της χρήσης του προϊόντος # A ^ 2 # περισσότερη χρησιμότητα. Με άλλα λόγια, το προϊόν καθίσταται πιο ικανοποιητικό εάν μπορεί να χρησιμοποιηθεί συχνότερα.

Υπάρχουν πολλά, πολύ περισσότερα για τα μερικά παράγωγα - στην πραγματικότητα, ολόκληρα τα προπτυχιακά και μεταπτυχιακά μαθήματα μπορούν να αφιερωθούν στην επίλυση μόνο μερικών τύπων εξισώσεων που περιλαμβάνουν μερικά παράγωγα - αλλά η βασική ιδέα είναι ότι το μερικό παράγωγο μας λέει πόσο ένα μεταβλητές αλλαγές όταν οι άλλες παραμένουν οι ίδιες.