Πώς αποδεικνύετε ότι το arcsin x + arccos x = pi / 2;

Απάντηση:

όπως φαίνεται

Εξήγηση:

Αφήνω

# arcsinx = theta #

έπειτα

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = π / 2 #

Απάντηση:

Η δήλωση είναι αληθής όταν οι αντίστροφοι συναρτήσεις τριγράφου αναφέρονται στις κύριες τιμές, αλλά αυτό απαιτεί περισσότερη προσοχή στην εμφάνιση από την άλλη απάντηση που παρέχει.

Όταν οι αντίστροφοι λειτουργίες τριγωνικής θεωρούνται πολυαναμενόμενοι, έχουμε για παράδειγμα ένα πιο λεπτό αποτέλεσμα

# x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # αλλά #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. # #

Πρέπει να αφαιρέσουμε για να πάρουμε # pi / 2 #.

Εξήγηση:

Αυτό είναι πιο δύσκολο από ό, τι φαίνεται. Η άλλη απάντηση δεν του καταβάλλει τον σωστό σεβασμό.

Μια γενική σύμβαση είναι να χρησιμοποιήσετε το μικρό γράμμα #arccos (x) # και #arcsin (x) # ως πολυαναμενόμενες εκφράσεις, καθεμία από τις οποίες δείχνει αντίστοιχα όλες τις τιμές των οποίων το συνημίτονο ή το ημίτονο έχει δεδομένη τιμή #Χ#.

Το νόημα του αθροίσματος αυτών είναι πραγματικά κάθε πιθανός συνδυασμός, και αυτά δεν θα δίνουν πάντα # pi / 2. # Δεν θα δίνουν πάντοτε πάντα μία από τις συνεκτικές γωνίες # pi / 2 + 2pi k quad # ακέραιος αριθμός #κ#, όπως θα δείξουμε τώρα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί με τις πολλαπλές αξίες αντιστρόφως. Θυμηθείτε εν γένει # cos x = cos a # έχει λύσεις # x = pm α + 2pi k quad # ακέραιος αριθμός #κ#.

# c = arccos x # πραγματικά σημαίνει

# x = cos c #

#s = arcsin x # πραγματικά σημαίνει

#x = sin s #

# y = s + c #

#Χ# παίζει το ρόλο μιας πραγματικής παράμετρος που σαρώνει από #-1# προς το #1#. Θέλουμε να λύσουμε # y #, βρείτε όλες τις πιθανές τιμές του # y # που έχουν ένα #x, s # και #ντο# που κάνει αυτές τις ταυτόχρονες εξισώσεις # x = cos c, x = sin s, y = s + c # αληθής.

# s με s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Χρησιμοποιούμε την παραπάνω γενική λύση για την ισότητα των συνημίτων.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # ακέραιος αριθμός #κ#

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Έτσι παίρνουμε το πιο νεφελώδες αποτέλεσμα, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Επιτρέπεται η αναστροφή του σημείου #κ.#)

Ας επικεντρωθούμε τώρα στις κύριες αξίες, τις οποίες γράφω με κεφαλαία γράμματα:

προβολή #text {Arc} κείμενο {sin} (x) + κείμενο {Arc} κείμενο {cos} (x) = pi /

Η δήλωση ισχύει όντως για τις κύριες αξίες που ορίζονται με τον συνήθη τρόπο.

Το άθροισμα ορίζεται μόνο (μέχρι να φτάσουμε αρκετά βαθιά σε σύνθετους αριθμούς) για # -1 le x le 1 # επειδή τα ισχύοντα sines και cosines βρίσκονται σε αυτό το εύρος.

Θα εξετάσουμε κάθε πλευρά του ισοδύναμου

# κείμενο {Arc} κείμενο {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin}

Θα πάμε το συνημίτονο και των δύο πλευρών.

#cos (κείμενο {Arc} κείμενο {cos} (x)) = x #

(x)) = sin (κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x)) = x #

Έτσι, χωρίς να ανησυχούμε για σημάδια ή κύριες αξίες, είμαστε σίγουροι

{cos} (x)) = cos (pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x)) #

Το δύσκολο κομμάτι, το μέρος που αξίζει τον σεβασμό, είναι το επόμενο βήμα:

#text {Arc} κείμενο {cos} (x) = pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin} ΔΕΝ ΕΙΜΑΙ ΣΙΓΟΥΡΟΣ ΑΚΟΜΑ

Πρέπει να περάσουμε προσεκτικά. Ας πάρουμε το θετικό και αρνητικό #Χ# χωριστά.

Πρώτα # 0 le x le 1 #. Αυτό σημαίνει ότι οι κύριες τιμές των δύο αντίστροφων λειτουργιών trig είναι στο πρώτο τεταρτημόριο, μεταξύ #0# και # pi / 2. # Περιορισμένες στο πρώτο τεταρτημόριο, οι ίσες κοσκινίνες υποδηλώνουν ίσες γωνίες, γι 'αυτό καταλήγουμε στο συμπέρασμα # x ge 0, #

#text {Arc} κείμενο {cos} (x) = pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin}

Τώρα # -1 le x <0. # Η κύρια τιμή του αντιστρόφου σημείου είναι στο τέταρτο τεταρτημόριο, και για το # x <0 # καθορίζουμε συνήθως την κύρια τιμή στην περιοχή

# - pi / 2 le κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x) le pi #

Η κύρια τιμή για το αρνητικό αντίστροφο συνημίτονο είναι το δεύτερο τεταρτημόριο, # pi / 2 <κείμενο {Arc} κείμενο {cos} (x) le pi #

Έχουμε λοιπόν δύο γωνίες στο δεύτερο τεταρτημόριο των οποίων οι συντεταγμένες είναι ίσες και μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες είναι ίσες. Για # x <0 #, #text {Arc} κείμενο {cos} (x) = pi / 2 - κείμενο {Arc} κείμενο {sin}

Έτσι, # κείμενο {Arc} κείμενο {sin} (x) + κείμενο {Arc} κείμενο {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #