Το γράφημα του y = ax ^ 2 + bx έχει ένα άκρο στο (1, -2). Βρείτε τις τιμές των a και b;

Απάντηση:

# a = 2 # και # b = -4 #

Εξήγηση:

Δεδομένος: # y = ax ^ 2 + bx, y (1) = -2 #

Από το δεδομένο μπορούμε να αντικαταστήσουμε 1 για το x και 2 για το y και να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση:

# -2 = α + β "1" #

Μπορούμε να γράψουμε τη δεύτερη εξίσωση χρησιμοποιώντας ότι το πρώτο παράγωγο είναι 0 όταν # x = 1 #

# dy / dx = 2ax + b #

# 0 = 2α + β "2" #

Αφαιρούμε την εξίσωση 1 από την εξίσωση 2:

# 0 - 2 = 2a + b - (a + b) #

# 2 = α #

# a = 2 #

Βρείτε την τιμή του b αντικαθιστώντας # a = 2 # στην εξίσωση 1:

# -2 = 2 + b #

# -4 = b #

#b = -4 #

Απάντηση:

# f (x) = 2x ^ 2-4x #

Εξήγηση:

# f (x) = ax ^ 2 + bx #, #Χ##σε## RR #

• #1##σε## RR #
• #φά# είναι διαφοροποιήσιμο στο # x_0 = 1 #
• #φά# έχει ένα άκρο στο # x_0 = 1 #

Σύμφωνα με το Θεώρημα του Fermat # f '(1) = 0 #

αλλά # f '(x) = 2ax + b #

# f '(1) = 0 # #<=># # 2a + β = 0 # #<=># # b = -2a #

# f (1) = - 2 # #<=># # α + β = -2 # #<=># # α = -2-β #

Έτσι # b = -2 (-2-b) # #<=># # b = 4 + 2b # #<=>#

# b = -4 #

και # α = -2 + 4 = 2 #

Έτσι # f (x) = 2x ^ 2-4x #