Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία {2 ^ -n} συγκλίνει από το n = 1 στο άπειρο;

$Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία {2 ^ -n} συγκλίνει από το n = 1 στο άπειρο;$

Απάντηση:

Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης για να προσδιορίσετε το N όπως # 2 ^ (- η) -2 ^ (- m) <epsilon # για κάθε # m, n> N #

Εξήγηση:

Ο ορισμός της σύγκλισης αναφέρει ότι το #{ένα}# συγκλίνει εάν:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Έτσι, δεδομένου #epsilon> 0 # παίρνω #N> log_2 (1 / epsilon) # και # m, n> N # με # m <n #

Οπως και # m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- η))> 0 # Έτσι # 2 ^ (- m) - 2 ^ (- η) = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- η)

(2) (- m) - 2 ^ (- η) = 2 ^

Τώρα ως # 2 ^ x # είναι πάντα θετική, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, Έτσι

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- η) <2 ^ (- m) #

Και ως # 2 ^ (- χ) # μειώνεται αυστηρά και # m> N> log_2 (1 / epsilon) #

(2) (- m) - 2 ^ (- η) <2 ^ (- m)

Αλλά:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Ετσι:

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- η) <epsilon #

Q.E.D.

Ποιο θα είναι το όριο της ακόλουθης ακολουθίας, καθώς το n τείνει στο άπειρο; Η ακολουθία θα συγκλίνει ή θα αποκλίνει;

(1 + sin)) (1 / n) = (1 + sin ) ^ (1 / ) = (1+ 1)) ^ 0 = 1 αυτό σημαίνει ότι η δεδομένη ακολουθία συγκλίνει και συγκλίνει στο 1

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία {5+ (1 / n)} συγκλίνει από το n = 1 στο άπειρο;

Έστω: a_n = 5 + 1 / n τότε για οποιοδήποτε m, n σε NN με n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / α = n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n και ως 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Έχοντας κάθε πραγματικό αριθμό epsilon> 0, τότε επιλέγουμε έναν ακέραιο N> 1 / epsilon. Για κάθε ακέραιο m, n> N έχουμε: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon που αποδεικνύει την προϋπόθεση του Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 συγκλίνει;

Με δεδομένο αριθμό epsilon> 0 επιλέγουμε M> 1 / sqrt (6 epsilon), με το M στο NN. Στη συνέχεια, για n> = M έχουμε: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon και έτσι: 1) <epsilon που αποδεικνύει το όριο.