Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σύγκλισης, πώς αποδεικνύετε ότι η ακολουθία {5+ (1 / n)} συγκλίνει από το n = 1 στο άπειρο;

Αφήνω:

# a_n = 5 + 1 / n #

τότε για οποιονδήποτε # m, n σε NN # με #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = κοιλιακό (1 / m -1 / n) #

όπως και # n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

και ως # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Δεδομένου κάθε πραγματικού αριθμού #epsilon> 0 #, τότε επιλέξτε έναν ακέραιο αριθμό #N> 1 / epsilon #.

Για κάθε ακέραιο αριθμό # m, n> N # έχουμε:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

που αποδεικνύει την προϋπόθεση του Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας.