Διαφοροποιήστε από την πρώτη αρχή x ^ 2sin (x);

Απάντηση:

# (df) / dx = 2 xsin (x) + x ^ 2cos (x) # από τον ορισμό του παραγώγου και λαμβάνοντας ορισμένα όρια.

Εξήγηση:

Αφήνω # f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Επειτα

(d) = dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)

(x + h) ^ 2sin (χ + η) - χ ^ 2sin (χ)) / h #

(h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h (x2 + 2hx + h ^ # #

#=#

(x) = x ^ 2sin (x)) / h + # (x)

(x) x (x) (h) cos (x)) / h +

(x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h + #

(x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

με τριγωνομετρική ταυτότητα και ορισμένες απλουστεύσεις. Σε αυτές τις τέσσερις τελευταίες γραμμές έχουμε τέσσερις όροι.

Ο πρώτος όρος ισούται με 0, δεδομένου ότι

(x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h # (x)

(cos (h) - 1) / h) # = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0}

#= 0#, που μπορεί να φανεί π.χ. από την επέκταση του Taylor ή την κυριαρχία του L'Hospital.

ο Τέταρτη θητεία επίσης εξαφανίζεται επειδή

(x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

(x) cos (x) + sin (h) cos

#= 0#.

Τώρα το δεύτερη περίοδος απλοποιεί σε

(x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

= x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, Από

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #, όπως φαίνεται εδώ, ή π.χ. Ο κανόνας του L'Hospital (βλ. Παρακάτω).

ο τρίτη θητεία απλοποιεί σε

(x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

(x) cos (h) + 2 xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

που μετά προσθέτοντας τον δεύτερο όρο το δίνει

# (df) / dx = 2 xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Σημείωση: Από την εποχή του L'Hospital, από τότε # lim_ {h to 0} αμαρτία (h) = 0 # και # lim_ {h έως 0} h = 0 # και οι δύο λειτουργίες είναι διαφοροποιήσιμες γύρω # h = 0 #, το έχουμε

(d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

Το όριο # lim_ {h to 0} (cos (h) -1) / h = 0 # μπορεί να παρουσιαστεί παρομοίως.