Ένα αεροπλάνο που πετάει οριζόντια σε υψόμετρο 1 μιλίου και ταχύτητα 500 μ.μ. / ώρα περνάει κατευθείαν πάνω από σταθμό ραντάρ. Πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο η απόσταση από το αεροπλάνο προς το σταθμό αυξάνεται όταν απέχει 2 μίλια από το σταθμό;

Απάντηση:

Όταν το αεροπλάνο απέχει 2 μέτρα από το σταθμό ραντάρ, ο ρυθμός αύξησης της απόστασης είναι περίπου 433 mi / h.

Εξήγηση:

Η ακόλουθη εικόνα αντιπροσωπεύει το πρόβλημά μας:

P είναι η θέση του αεροπλάνου

R είναι η θέση του σταθμού ραντάρ

Το V είναι το σημείο που βρίσκεται κάθετα του σταθμού ραντάρ στο ύψος του αεροπλάνου

h είναι το ύψος του αεροπλάνου

d είναι η απόσταση μεταξύ του αεροπλάνου και του σταθμού ραντάρ

x είναι η απόσταση μεταξύ του επιπέδου και του σημείου V

Δεδομένου ότι το αεροπλάνο πετάει οριζόντια, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το PVR είναι ένα σωστό τρίγωνο. Επομένως, το θεώρημα του πυθαγορείου μας επιτρέπει να γνωρίζουμε ότι το d υπολογίζεται:

# d = sqrt (h ^ 2 + x ^ 2) #

Μας ενδιαφέρει η κατάσταση όταν d = 2mi, και, αφού το αεροπλάνο πετάει οριζόντια, γνωρίζουμε ότι h = 1mi ανεξάρτητα από την κατάσταση.

Ψάχνουμε για # (dd) / dt = dotd #

# d ^ 2 = h ^ 2 + x ^ 2 #

(d (d ^)) / dt = (d (d ^ 2)) / dt = dt) + (d (x ^ 2)) / (dx) (dx) / dt #

# = 2d dotd = 2xdotx #

#rarr dotd = (2xdotx) / (2d) = (xdotx) / d #

Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι, όταν d = 2mi:

# x = sqrt (d ^ 2-h ^ 2) = sqrt (2 ^ 2-1 ^ 2) = sqrt3 # μι

Γνωρίζοντας ότι το αεροπλάνο πετάει με σταθερή ταχύτητα 500mi / h, μπορούμε να υπολογίσουμε:

# dotd = (sqrt3 * 500) / 2 = 250sqrt3 ~~ 433 # mi / h