Ένα μήκος 20 cm από κορδόνι κόβεται σε δύο κομμάτια. Ένα από τα κομμάτια χρησιμοποιείται για να σχηματίσει μια περίμετρο ενός τετραγώνου;

Απάντηση:

# "Ελάχιστη συνολική επιφάνεια = 10.175 cm²." #

# "Μέγιστη συνολική επιφάνεια = 25 cm²." #

Εξήγηση:

# "Ονομάστε το μήκος του τεμαχίου για να σχηματίσετε ένα τετράγωνο." #

# "Στη συνέχεια, η περιοχή του τετραγώνου είναι" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Η περίμετρος του τριγώνου είναι" 20-x ". #

# "Αν y είναι μια από τις ίσες πλευρές του τριγώνου, τότε έχουμε" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-χ) / (2 + sqrt (2)) #

(2 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) ##########################################################

# = (20-χ) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Συνολική περιοχή =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)

(2 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)

(2) + (2 + 8sqrt (2))) x = 400 / (12 + 8sqrt (2)

# "Αυτή είναι μια παραβολή και το ελάχιστο για μια παραβολή" #

# a x ^ 2 + b x + c = 0 "είναι" x = -b / (2 * a)

# "Το μέγιστο είναι" x-> oo ", αν a> 0." #

# "Έτσι το ελάχιστο είναι" #

# x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (6 + 4sqrt (2) +8) / (8 + 6sqrt (2)

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Συνολική έκταση =" 10.175 "cm²." #

# "Το μέγιστο είναι είτε x = 0 είτε x = 20." #

# "Ελέγουμε την περιοχή:" #

# "Όταν" x = 0 => "περιοχή =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm2"

# "Όταν" x = 20 => "περιοχή =" 5 ^ 2 = 25 "cm2" #

# "Έτσι, η μέγιστη συνολική έκταση είναι 25 cm²." #

Απάντηση:

Η ελάχιστη έκταση είναι #10.1756# και το μέγιστο είναι #25#

Εξήγηση:

Η περίμετρος ενός ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου πλευράς #ένα# είναι # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # και η περιοχή της είναι # α ^ 2/2 #,

Αφήστε ένα κομμάτι να είναι #Χ# εκ. από την οποία σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. Είναι προφανές ότι η πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου ισοσκελής θα ήταν # x / (2 + sqrt2) # και η περιοχή του θα ήταν

(2 + 2 + 2) 2 = (2 + 2)

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)

Η περίμετρος του άλλου τμήματος της χορδής που σχηματίζει ένα τετράγωνο είναι # (20-χ) # και ως πλευρά της πλατείας είναι # (20-χ) / 4 # η περιοχή του είναι # (20-χ) ^ 2/16 # και συνολική έκταση # T # από τα δύο είναι

# Τ = (20-χ) ^ 2/16 + (χ ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40χ + χ ^ 2) / 16 + (χ ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5χ) / 2 + χ ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Παρατηρήστε αυτό # 3-2sqrt2> 0 #, συνεπώς συντελεστής του # x ^ 2 # είναι θετική και επομένως θα έχουμε ένα ελάχιστο και μπορούμε να γράψουμε # T # όπως και

# Τ = 0.1054x ^ 2-2.5χ + 25 #

= # 0.1054 (χ ^ 2-23.7192χ + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (χ-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Οπως και # 0.1054 (χ-11.8596) ^ 2 # είναι πάντα θετική, έχουμε ελάχιστη τιμή # T # πότε # x = 11.8596 #.

Παρατηρήστε ότι theoritically δεν υπάρχει μέγιστο για τη λειτουργία, αλλά ως τιμή του #Χ# βρίσκεται μεταξύ #0,20#, και πότε # x = 0 #, έχουμε # Τ = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

και πότε # x = 20 # πότε # Τ = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

και επομένως τα μέγιστα είναι #25#

διάγραμμα {25- (5χ) / 2 + χ ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}