Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους ο εξεταστής μπορεί να εκχωρήσει 30 βαθμούς σε 8 ερωτήσεις που δίδονται τουλάχιστον σε 2 σημεία σε κάθε ερώτηση είναι;

Απάντηση:

#259459200#

Εξήγηση:

Εάν το διαβάσω σωστά, τότε αν ο εξεταστής μπορεί να δώσει σήματα μόνο σε πολλαπλάσια των 2. Τούτο σημαίνει ότι υπάρχουν μόνο 15 επιλογές από τις 30 σημάνσεις δηλαδή. #30/2 = 15#

Στη συνέχεια, έχουμε διανεμηθεί 15 επιλογές στις 8 ερωτήσεις.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις μεταβολές:

# (n!) / ((n - r)!) #

Οπου # n # είναι ο αριθμός των αντικειμένων (Στην περίπτωση αυτή τα σημάδια σε ομάδες των 2).

Και # r # είναι πόσοι λαμβάνονται σε μια στιγμή (Σε αυτή την περίπτωση οι 8 ερωτήσεις)

Έτσι έχουμε:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Απάντηση:

Υπάρχουν # "" _ 21C_14 # (ή 116.280) τρόπους.

Εξήγηση:

Αρχίζουμε με 30 βαθμούς στην "τράπεζα" για να δώσουμε. Δεδομένου ότι όλα τα ερωτήματα πρέπει να αξίζουν τουλάχιστον 2 βαθμούς, παίρνουμε # 2 xx 8 = 16 # σημάδια από το #30# και να τα διανέμετε εξίσου. Τώρα κάθε ερώτηση έχει 2 (μέχρι στιγμής) και η "τράπεζα" έχει μείνει #30-16=14# σημάδια.

Τώρα, πρέπει απλώς να βρούμε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ξεχωρίσουμε τα υπόλοιπα 14 σημεία μεταξύ των 8 ερωτήσεων. Αρχικά, αυτό μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά υπάρχει ένα τέχνασμα που το καθιστά πολύ πιο διαισθητικό.

Ας απλουστεύσουμε τα πράγματα για μια στιγμή. Τι γίνεται αν είχαμε μόνο 2 ερωτήσεις και 14 σημάδια για να χωρίσουμε μεταξύ τους; Πόσοι τρόποι θα μπορούσαμε να κάνουμε αυτό; Θα μπορούσαμε να χωρίσουμε τα σημάδια ως 14 + 0 ή 13 + 1 ή 12 + 2 κ.λπ … ή 1 + 13 ή 0 + 14. Με άλλα λόγια, όταν χρειάζεται να εισαγάγουμε μόνο 1 διαίρεση (μεταξύ 2 ερωτήσεων), έχουμε 15 τρόπους να το κάνουμε.

Αυτό είναι το ίδιο με το ερώτημα: "Πόσοι μοναδικοί τρόποι μπορούμε να οργανώσουμε 14 κίτρινα μάρμαρα (τα σημάδια) και ένα μπλε μάρμαρο (τον διαχωριστή ερωτήσεων) σε μια σειρά;" Η απάντηση σε αυτό βρίσκεται με τον υπολογισμό του αριθμού των μεταλλάξεων και των 15 μαρμάρων (δηλαδή #15!#), στη συνέχεια, διαιρώντας με τον αριθμό των τρόπων για να μετατραπεί και τα δύο κίτρινα μάρμαρα #(14!)# και μπλε μάρμαρα #(1!)#, δεδομένου ότι σε κάθε διάταξη, δεν έχει σημασία με ποια σειρά εμφανίζονται τα ίδια μάρμαρα.

Έτσι, όταν υπάρχουν 14 κίτρινα μάρμαρα (σημάδια) και 1 μπλε μάρμαρο (διαιρέτης ερωτήσεων), υπάρχουν

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Ακύρωση (14!) Xx1) = 15/1 =

15 τρόποι να κανονίσετε τα μάρμαρα (χωρίστε τα σημάδια). Σημείωση: αυτό είναι ίσο με # "" _ 15C_14 #.

Ας εισαγάγουμε ένα άλλο μπλε μάρμαρο - δηλαδή ένα δεύτερο σχίσιμο ή ένα τρίτο ερώτημα για να δώσουμε τα σημάδια. Τώρα έχουμε 16 συνολικά μάρμαρα και θέλουμε να μάθουμε πόσους μοναδικούς τρόπους μπορούμε να τις οργανώσουμε. Παρόμοια με το παρελθόν, παίρνουμε το #16!# τρόπους για να οργανώσετε όλα τα μάρμαρα, και στη συνέχεια να τα διαχωρίσετε από τους τρόπους να διαχωρίσετε και τα δύο κίτρινα #(14!)# και τα μπλε #(2!)#:

/ (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Ακύρωση (14!) Xx2xx1) = (16xx15)

Έτσι, υπάρχουν 120 τρόποι για να χωρίσετε 14 σημεία μεταξύ 3 ερωτήσεων. Αυτό είναι επίσης ίσο με # "" _ 16C_14 #.

Μέχρι τώρα, μπορεί να παρατηρήσετε πού κατευθυνόμαστε. Ο αριθμός στα αριστερά του #ΝΤΟ# είναι ίση με τον αριθμό των σημείων που διαχωρίζουμε (κίτρινα μάρμαρα) συν ο αριθμός των διαχωριστών (μπλε μάρμαρα). Ο αριθμός των διαχωριστών είναι πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό των ερωτήσεων. Ο αριθμός στα δεξιά του #ΝΤΟ# παραμένει ο αριθμός των σημείων.

Έτσι, για να χωρίσουμε τα υπόλοιπα 14 σημεία μεταξύ των 8 ερωτήσεων (που απαιτούν 7 χωριστές), υπολογίζουμε

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" 21C_14 #

#color (λευκό) ("" (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (λευκό) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Έτσι, υπάρχουν 116.280 τρόποι για να εκχωρήσετε 30 βαθμούς σε 8 ερωτήσεις, όπου κάθε ερώτηση αξίζει τουλάχιστον 2 μονάδες.