Η ακτίνα ενός σφαιρικού μπαλονιού αυξάνεται με ταχύτητα 2 εκατοστών ανά λεπτό. Πόσο γρήγορα αλλάζει ο όγκος όταν η ακτίνα είναι 14 εκατοστά;

Απάντηση:

# 1568 * pi # cc / λεπτό

Εξήγηση:

Εάν η ακτίνα είναι r, τότε ο ρυθμός μεταβολής του r σε σχέση με τον χρόνο t, # d / dt (r) = 2 # cm / λεπτό

Ο όγκος ως συνάρτηση της ακτίνας r για ένα σφαιρικό αντικείμενο είναι

# V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Πρέπει να βρούμε # d / dt (V) # σε r = 14cm

Τώρα, = d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt dt (r) #

Αλλά # d / dt (r) # = 2cm / λεπτό. Ετσι, # d / dt (V) # σε r = 14 cm είναι:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # κυβικά cm / λεπτό # = 1568 * pi # cc / λεπτό

Το ύψος ενός τριγώνου αυξάνεται με ταχύτητα 1,5 cm / min, ενώ η περιοχή του τριγώνου αυξάνεται με ρυθμό 5 τετραγωνικών εκατοστών / λεπτό. Με ποιο ρυθμό αλλάζει η βάση του τριγώνου όταν το υψόμετρο είναι 9 cm και η έκταση είναι 81 τετραγωνικά εκατοστά;

Πρόκειται για πρόβλημα σχετικά με τα ποσοστά (αλλαγής). Οι μεταβλητές ενδιαφέροντος είναι a = υψόμετρο A = περιοχή και, δεδομένου ότι η περιοχή ενός τριγώνου είναι A = 1 / 2ba, χρειαζόμαστε b = βάση. Οι δεδομένες μεταβολές είναι σε μονάδες ανά λεπτό, οπότε η (αόρατη) ανεξάρτητη μεταβλητή είναι t = χρόνος σε λεπτά. Μας δίνεται: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "^ 2 / min Και μας ζητείται να βρούμε (db) / dt όταν a = 9 cm και A = "" ^ 2 A = 1 / 2ba, διαφοροποιώντας σε σχέση με το t, παίρνουμε: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Θα χρειαστούμε τον κανόνα του προϊόντος στα δεξιά. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a

Ο όγκος ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 20 κυβικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. Πόσο γρήγορα, σε τετραγωνικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο, η επιφάνεια του κύβου αυξάνεται τη στιγμή που κάθε άκρη του κύβου έχει μήκος 10 εκατοστά;

Θεωρούμε ότι η άκρη του κύβου ποικίλει με το χρόνο, έτσι ώστε να είναι συνάρτηση του χρόνου l (t). Έτσι:

Το πετρέλαιο που χύνεται από ένα ραγισμένο δεξαμενόπλοιο απλώνεται σε έναν κύκλο στην επιφάνεια του ωκεανού. Η περιοχή της διαρροής αυξάνεται με ρυθμό 9μm / λεπτό. Πόσο γρήγορα αυξάνεται η ακτίνα της διαρροής όταν η ακτίνα είναι 10 μέτρα;

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Δεδομένου ότι η περιοχή ενός κύκλου είναι A = pi r ^ 2, μπορούμε να πάρουμε τη διαφορά σε κάθε πλευρά για να πάρουμε: dA = 2pirdr Συνεπώς η ακτίνα αλλάζει με τον ρυθμό dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Έτσι, dr | (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45m // min.