Απάντηση:
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι η περιοχή ενός κύκλου είναι
Εξ ου και η ακτίνα αλλάζει με την ταχύτητα
Ετσι,
Το ύψος ενός τριγώνου αυξάνεται με ταχύτητα 1,5 cm / min, ενώ η περιοχή του τριγώνου αυξάνεται με ρυθμό 5 τετραγωνικών εκατοστών / λεπτό. Με ποιο ρυθμό αλλάζει η βάση του τριγώνου όταν το υψόμετρο είναι 9 cm και η έκταση είναι 81 τετραγωνικά εκατοστά;
Πρόκειται για πρόβλημα σχετικά με τα ποσοστά (αλλαγής). Οι μεταβλητές ενδιαφέροντος είναι a = υψόμετρο A = περιοχή και, δεδομένου ότι η περιοχή ενός τριγώνου είναι A = 1 / 2ba, χρειαζόμαστε b = βάση. Οι δεδομένες μεταβολές είναι σε μονάδες ανά λεπτό, οπότε η (αόρατη) ανεξάρτητη μεταβλητή είναι t = χρόνος σε λεπτά. Μας δίνεται: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "^ 2 / min Και μας ζητείται να βρούμε (db) / dt όταν a = 9 cm και A = "" ^ 2 A = 1 / 2ba, διαφοροποιώντας σε σχέση με το t, παίρνουμε: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Θα χρειαστούμε τον κανόνα του προϊόντος στα δεξιά. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a
Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;
Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ
Το νερό που διαρρέει σε ένα δάπεδο σχηματίζει μια κυκλική πισίνα. Η ακτίνα της πισίνας αυξάνεται με ρυθμό 4 cm / min. Πόσο γρήγορα αυξάνεται η περιοχή της πισίνας όταν η ακτίνα είναι 5 cm;
"Πρώτον, πρέπει να ξεκινήσουμε με μια εξίσωση που γνωρίζουμε σχετικά με την περιοχή ενός κύκλου, την πισίνα και την ακτίνα της: A = pir ^ 2 Ωστόσο, θέλουμε να δούμε πόσο γρήγορα η περιοχή του η πισίνα αυξάνεται, η οποία ακούγεται πολύ σαν ποσοστό ... το οποίο ακούγεται πολύ σαν παράγωγο. Αν πάρουμε το παράγωγο του A = pir ^ 2 σε σχέση με το χρόνο, t, βλέπουμε ότι: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Μην ξεχνάτε ότι ο κανόνας της αλυσίδας ισχύει στα δεξιά πλευρά με το r ^ 2 - αυτό είναι παρόμοιο με την έμμεση διαφοροποίηση.) Έτσι, θέλουμε να καθορίσουμε (dA) / dt. Η ερώτηση μας έλεγε ότι (dr) / dt = 4 όταν είπε "η ακ