Ο ζωολογικός κήπος διαθέτει δύο δεξαμενές νερού που διαρρέουν. Μια δεξαμενή νερού περιέχει 12 γρ. Νερού και διαρρέει με σταθερό ρυθμό 3 γρ. / Ώρα. Το άλλο περιέχει 20 γρ. Νερού και διαρρέει με σταθερό ρυθμό 5 g / hr. Πότε και οι δύο δεξαμενές θα έχουν το ίδιο ποσό;
4 ώρες. Πρώτη δεξαμενή έχει 12g και χάνει 3g / hr Δεύτερη δεξαμενή έχει 20g και χάνει 5g / hr Αν αντιπροσωπεύουμε το χρόνο από το t, θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξίσωση: 12-3t = 20-5t Επίλυση για t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 ώρες. Αυτή τη στιγμή και οι δύο δεξαμενές θα έχουν εκκενωθεί ταυτόχρονα.
Το νερό αποστραγγίζεται από μια κωνοφόρο δεξαμενή διαμέτρου 10 ποδών και βάθους 10 ποδιών σε σταθερό ρυθμό 3 ft3 / λεπτό. Πόσο γρήγορα πέφτει η στάθμη του νερού όταν το βάθος του νερού είναι 6 ft;
Ο λόγος ακτίνας r της άνω επιφάνειας του νερού προς το βάθος του νερού w είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις συνολικές διαστάσεις του κώνου r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Ο όγκος του κώνου το νερό δίνεται από τον τύπο V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w ή, απλώς w για τη δεδομένη κατάσταση V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) (dw) / (dw) / (dw) / (dw) / (piw ^ 2) dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Εκφράζεται από το πόσο γρήγορα η στάθμη του νερού πέφτει, όταν το βάθος του νερού είναι 6 πόδια, το νερό πέφτει με ρυθμό 1 / (3pi) πόδια / λεπτό.
Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;
Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ