Το νερό ρίχνεται σε κυλινδρικό κύπελλο ύψους 10 ποδιών και ακτίνα 3 ποδών, με ταχύτητα 5 ίππ ^ 3 / λεπτό. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται το επίπεδο του νερού;

Απάντηση:

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Εξήγηση:

Για ένα δεδομένο ύψος, # h #, του ρευστού στον κύλινδρο ή στην ακτίνα # r #, η ένταση είναι

# V = pi r ^ 2 h #

Διαφοροποίηση χρόνου wrt

#dot V = 2 pi r dot r h + pi r ^ 2 dot h # αλλά #dot r = 0 # Έτσι

#dot V = pi r ^ 2 dot h #

# dot h = τελεία V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Το νερό αποστραγγίζεται από μια κωνοφόρο δεξαμενή διαμέτρου 10 ποδών και βάθους 10 ποδιών σε σταθερό ρυθμό 3 ft3 / λεπτό. Πόσο γρήγορα πέφτει η στάθμη του νερού όταν το βάθος του νερού είναι 6 ft;

Ο λόγος ακτίνας r της άνω επιφάνειας του νερού προς το βάθος του νερού w είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις συνολικές διαστάσεις του κώνου r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Ο όγκος του κώνου το νερό δίνεται από τον τύπο V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w ή, απλώς w για τη δεδομένη κατάσταση V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) (dw) / (dw) / (dw) / (dw) / (piw ^ 2) dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Εκφράζεται από το πόσο γρήγορα η στάθμη του νερού πέφτει, όταν το βάθος του νερού είναι 6 πόδια, το νερό πέφτει με ρυθμό 1 / (3pi) πόδια / λεπτό.

Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;

Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ

Τα κύπελλα Α και Β έχουν σχήμα κώνου και έχουν ύψη 32 cm και 12 cm και ανοίγματα με ακτίνες 18 cm και 6 cm αντίστοιχα. Εάν το κύπελλο Β είναι γεμάτο και το περιεχόμενό του χύνεται στο κύπελλο Α, θα φτάσει το κύπελλο Α υπερχείλιση; Αν όχι πόσο ψηλά θα γεμίσει το κύπελλο Α;

Βρείτε την ένταση του καθενός και συγκρίνετε τις. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την ένταση του κυπέλλου A στο κύπελλο Β και βρείτε το ύψος. Το κύπελλο Α δεν θα υπερχειλίσει και το ύψος θα είναι: h_A '= 1, bar (333) cm Ο όγκος ενός κώνου: V = 1 / 3b * h όπου b είναι η βάση και ίσο με π * r ^ 2h είναι το ύψος . Κύπελλο A V_A = 1 / 3b_A * h_A V_A = 1/3 (π * 18 ^ 2) * 32 V_A = 3456πcm ^ 3 Κύπελλο Β V_B = 1 / 3b_B * h_B V_B = 1/3 (π * 12 V_B = 144πcm ^ 3 Από το V_A> V_B το κύπελλο δεν θα υπερχειλίσει. Ο νέος όγκος υγρού του κυπέλλου Α μετά την έκχυση θα είναι V_A '= V_B: V_A' = 1 / 3b_A * h_A 'V_B = 1/3b_A * h