Η ελάχιστη τιμή του f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 είναι <

# f (x, y) = χ ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

(2y) * 1 + 1 ^ 2 = (2y) 2 = (2y)

= = f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

Η ελάχιστη τιμή κάθε τετραγωνισμένης έκφρασης πρέπει να είναι μηδέν.

Έτσι # f (x, y) _ "min" = - 3 #

Απάντηση:

Υπάρχει ένα σχετικό ελάχιστο σε #(3/2,1/2)# και #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Εξήγηση:

Νομίζω ότι πρέπει να υπολογίσουμε τα μερικά παράγωγα.

Εδώ, # f (x, y) = χ ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

Τα πρώτα μερικά παράγωγα είναι

# (delf) / (delx) = 2χ-6γ #

# (delf) / (dely) = 26y-6x-4 #

Τα κρίσιμα σημεία είναι

# {(2x-6y = 0), (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(x = 3/2), (y = 1/2):} #

Τα δεύτερα μερικά παράγωγα είναι

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (delly ^ 2) = 26 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

Ο καθοριστικός παράγοντας της ουσίας Hessian είναι

(Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f)) / (delydelx)) #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Οπως και # D (x, y)> 0 #

και

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Υπάρχει ένα σχετικό ελάχιστο σε #(3/2,1/2)#

Και

# f (3/2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 * 0,5 ^ 2-6 * 1,5 * 0,5-4 * 0,5-2 = -3 #