Αυτή είναι μια τριγωνομετρική απόδειξη μιας γενικευμένης περίπτωσης, η ερώτηση βρίσκεται στο πλαίσιο λεπτομερειών;

Απάντηση:

Η απόδειξη μέσω επαγωγής είναι κάτω.

Εξήγηση:

Ας δείξουμε αυτήν την ταυτότητα με επαγωγή.

Α. Για # n = 1 # πρέπει να το ελέγξουμε

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Πράγματι, χρησιμοποιώντας ταυτότητα #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, το βλέπουμε αυτό

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

από τα οποία προκύπτει ότι

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Ετσι, για # n = 1 # η ταυτότητά μας ισχύει.

Β. Ας υποθέσουμε ότι η ταυτότητα ισχύει για # n #

Υποθέτουμε λοιπόν αυτό

# 2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi (j in 0, n-1

(σύμβολο #Πι# χρησιμοποιείται για το προϊόν)

Γ. Χρησιμοποιώντας την προϋπόθεση Β παραπάνω, ας αποδείξουμε την ταυτότητα # n + 1 #

Πρέπει να αποδείξουμε ότι από την υπόθεση Β ακολουθεί

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi_ (j στην 0, n

(παρατηρήστε ότι το σωστό όριο για ένα δείκτη πολλαπλασιασμού είναι # n # τώρα).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Χρησιμοποιώντας ταυτότητα #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # Για # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) +

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Διαχωρίστε τις αρχικές και τελικές εκφράσεις από # 2cos (theta) +1 #, να πάρει

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta)

Τώρα χρησιμοποιούμε την παραδοχή Β

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

= = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi (j in 0, n-1

# = Pi _ (j σε 0, η) 2cos (2 ^ jeta) -1 #

(παρατηρήστε ότι το εύρος ενός ευρετηρίου τώρα επεκτείνεται σε # n #).

Ο τελευταίος τύπος είναι ακριβώς ο ίδιος για # n + 1 # όπως το πρωτότυπο είναι για # n #. Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη ότι η φόρμουλά μας είναι αληθινή για οποιοδήποτε # n #.

Απάντηση:

Ανατρέξτε στην ενότητα "Απόδειξη σε εξήγηση" παρακάτω.

Εξήγηση:

Αυτό ισοδυναμεί με την απόδειξη ότι, (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

(2cos2x-1) (2cos4x-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^

(2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

(2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) χ-1) # = {4 ((1 + cos2x)

(2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) χ-1) #

(2cos2x (n-1) x-1) # = (4cos ^ 2 (2x) -1)

= (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

= (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (η-1) χ-1) #

= (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (η-1) χ-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "το R.H.S." #

Απολαύστε Μαθηματικά.!