Πώς να ενσωματώσετε int e ^ x sinx cosx dx;

Απάντηση:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x)

Εξήγηση:

Πρώτα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

που δίνει:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ενσωμάτωση με μέρη. Ο τύπος είναι:

(x) f (x) g (x) dx = f (x) g (x)

θα αφήσω # f (x) = αμαρτία (2x) # και # g '(x) = e ^ x / 2 #. Εφαρμόζοντας τον τύπο, παίρνουμε:

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την ενσωμάτωση από τα μέρη για άλλη μια φορά, αυτή τη φορά με # f (x) = cos (2x) # και #g '(x) = e ^ x #:

(2χ) e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x /

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x)

Τώρα έχουμε το ενιαίο και στις δύο πλευρές της ισότητας, έτσι μπορούμε να το λύσουμε σαν μια εξίσωση. Πρώτον, προσθέτουμε 2 φορές το ακέραιο και στις δύο πλευρές:

(2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Αφού θέλαμε μισό ως συντελεστή στο αρχικό ολοκλήρωμα, διαιρούμε και τις δύο πλευρές #5#:

(2χ) e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x /

# = e ^ x / 10sin (2χ) -ε ^ χ / 5cos (2χ) + C #

Απάντηση:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Εξήγηση:

Ψάχνουμε:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Ποιοι χρησιμοποιούν την ταυτότητα:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Μπορούμε να γράψουμε ως εξής:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Όπου για λόγους ευκολίας δηλώνουμε:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, και # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Τώρα, εκτελούμε την ενσωμάτωση από τα μέρη για άλλη μια φορά.

Αφήνω = (x), (x), (x), (x), (x)

Στη συνέχεια συνδέοντας τον τύπο IBP παίρνουμε:

(x) (intx (x)) (cos2x) dx = (e ^ x) (1/2cos2x)

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Τώρα, έχουμε δύο ταυτόχρονες εξισώσεις σε δύο άγνωστα #ΕΙΝΑΙ#. και # I_C #, αντικαθιστώντας έτσι το Β σε Α έχουμε:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Οδηγει σε:

# Ι = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #